Edits to “Условие”, “Решение”

igor edited
View solution History
revision #18288 parent #18287 ← older newer →
ru/7.3.6.md +98 −2
@@ -1,11 +1,107 @@
### Условие
−$7.3.6.$ [Вставьте условие задачи]
+$7.3.6.$ Длина пластин осциллографа $l$, ускоряющее напряжение $V$ . При какой частоте электрического сигнала чувствительность осциллографа уменьшится?
### Решение
−123
+Эта задача является обобщением задачи $7.3.4$ на случай переменного напряжения на отклоняющих (управляющих пластинах).
+
+Начнем с вычисления скорости поперечной $v_y$, приобретаемой электроном за все время движения $\tau$ между отклоняющими пластинами.
+
+Из второго закона Ньютона на поперечное направление:
+
+$$
+v_y=\int_0^\tau\frac{F(t)}{m}dt,\tag{1}
+$$
+
+где $F_0(t)$ есть сила поля пластин, зависящая от времени $t$, $m$ есть масса электрона.
+
+Напряжение на пластинах считаем гармоническим. Оно задается в общем для произвольного электрона с началом отсчета времени $t=0$ в момент его попадания в область между пластинами так:
+
+$$
+U(t)=U_0\sin\left(\omega t+\varphi\right),\tag{2}
+$$
+
+где $U_0$ есть амплитуда напряжения на пластинах, $\omega$ есть циклическая частота напряжения, $\varphi$ есть начальная фаза напряжения для произвольно выбранного электрона, попадающего в область между пластинами.
+
+С учетом $F=Ee$ (где $E$ есть напряженность поля между пластинами, $e$ есть заряд электрона) и $E=U/d$ (где $d$ есть расстояние между пластинами) можем получить после подстановки $(2)$ в $(1)$ и замены переменной интегрирования следующее
+
+$$
+v_y=\frac{eU_0}{md\omega}\int_0^\tau\sin(\omega t+\varphi)\,d(\omega t+\varphi).
+$$
+
+После интегрирования:
+
+$$
+v_y=\frac{eU_0}{md\omega}\big[\cos\varphi-\cos\left(\omega t+\varphi\right)\big].\tag{3}
+$$
+
+По формуле суммы тригонометрических функций
+
+$$
+\cos\alpha-\cos\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\beta-\alpha}{2}
+$$
+
+перепишем $(3)$ в теминах синуса
+
+$$
+v_y=\frac{2eU_0}{md\omega}\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}+\varphi\right)\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}\right)
+$$
+
+(позже объясним этот переход).
+
+Далее, не усложняя задачу, рассмотрим ситуацию $L\gg$ (где $L$ есть расстояние от экрана до точки вылета электрона после поперечного поля).
+
+По результатам решения задачи $7.3.4$ в условиях нашей модели чувствительность $S$ равна
+
+$$
+S=\frac{y}{U_\text{отк}},\tag{4}
+$$
+
+где $y\approx v_y\frac{L}{v}$ (тут $v$ есть продольная скорость электрона) есть смещение электрона, $U_\text{отк}$ есть напряжение, вызывающее это смещение.
+
+Отклоняющим напряжением $U_\text{отк}$ посчитаем значение напряжения $U(\tau/2)$ между пластинами в момент, когда электрон прошел половину продольного расстояния между пластинами:
+
+$$
+U_\text{отк}=U_0\sin\left(\omega\frac{\tau}{2}+\varphi\right).
+$$
+
+Подставляем найденное значение для $v_y$ в $(4)$ и с учетом сказанного про $U_\text{отк}$ и $eV=mv^2/2$ можем получить в такой форме
+
+$$
+S=\frac{Ll}{2Vd}\frac{\sin\frac{\omega\tau}{2}}{\frac{\omega\tau}{2}}.
+$$
+
+В пределе постоянного напряжения $\omega\to0$ приходим к результату задачи $7.3.4$
+
+$$
+
+$$
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
#### Ответ
[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]