New solution
ru/9.3.11.md
+29 −0
| @@ -0,0 +1,29 @@ | |||
| + | ### Условие | ||
| + | |||
| + | $9.3.11.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | |||
| + | ### Решение | ||
| + | |||
| + | |||
| + | а)Докажем что ток в намагниченном до насыщения цилиндре возникает только на его внешней поверхности: | ||
| + | $$j=\Delta \times M$$ $$i=\hat{n}\times M$$ где $\hat{n}$ - вектор нормали к поверхности. | ||
| + | Т.к. проводник намагничен до насыщение ротор M=0 следовательно внутри тока нет. На торцах векторное произведение обращается в нуль, поэтому там тока тоже нет $\Rightarrow$ ток есть только на торцах и по правилу векторного произведения его линейная плотность равна i=M | ||
| + | б) Разница в индукции возникает как следствие разницы телесных углов под которыми видны поверхности с током. Аналогично пункту а токи возникают только на внешней поверхности и отсутствуют на торцах и внутри проводников. В случае бесконечного стерня телесный угол равен $\Omega = 4\pi$. В случае квадрата $\Omega' = frac{8\pi}{3}$ следовательно индукция меньше в n=1,5 раза. | ||
| + | в)Телесный угол под которым видна внешняя поверхность по которой течет ток равен $$\Omega = 4\pi - 2\cdot2\pi (1-cos\alpha)=4\pi cos\alpha$$ где $cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{4\frac{r^2}{l^2}+1}}$ | ||
| + | Следовательно: | ||
| + | $$B = \frac{\mu_0M}{\sqrt{1+4\frac{r^2}{l^2}}}$$ | ||
| + | $r/l \Longrightarrow 0$: | ||
| + | $$B \Longrightarrow \mu_0 M$$ | ||
| + | $l/r \Longrightarrow 0$: | ||
| + | $$B \Longrightarrow \frac{\mu_0 Ml}{2r}$$ | ||
| + | г)Представим поле прошлого цилиндра как суперпозицию полей тонкого цилиндра в центре и остальной части. $$\hat{B_тонкого}+\hat{B_ост}=\hat{B_цел}$$ | ||
| + | $$\hat{B_ост) = -(\hat{B_тонкого}-\hat{B_цел})$$ | ||
| + | $$B = \mu_0 M(1-\sqrt{1+4\frac{r^2}{l^2}})$$ | ||
| + | $r/l \Longrightarrow 0$: | ||
| + | $$B \Longrightarrow \frac{2\mu_0 Mr^2}{l^2}$$ | ||
| + | $l/r \Longrightarrow 0$: | ||
| + | $$B \Longrightarrow \mu_0 M$$ | ||
| + | |||
| + | #### Ответ | ||
| + | |||
| + | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| @@ -0,0 +1,29 @@ | |||
| ### Условие | |||
| $9.3.11.$ [Вставьте условие задачи] | |||
| ### Решение | |||
| а)Докажем что ток в намагниченном до насыщения цилиндре возникает только на его внешней поверхности: | |||
| $$j=\Delta \times M$$ $$i=\hat{n}\times M$$ где $\hat{n}$ - вектор нормали к поверхности. | |||
| Т.к. проводник намагничен до насыщение ротор M=0 следовательно внутри тока нет. На торцах векторное произведение обращается в нуль, поэтому там тока тоже нет $\Rightarrow$ ток есть только на торцах и по правилу векторного произведения его линейная плотность равна i=M | |||
| б) Разница в индукции возникает как следствие разницы телесных углов под которыми видны поверхности с током. Аналогично пункту а токи возникают только на внешней поверхности и отсутствуют на торцах и внутри проводников. В случае бесконечного стерня телесный угол равен $\Omega = 4\pi$. В случае квадрата $\Omega' = frac{8\pi}{3}$ следовательно индукция меньше в n=1,5 раза. | |||
| в)Телесный угол под которым видна внешняя поверхность по которой течет ток равен $$\Omega = 4\pi - 2\cdot2\pi (1-cos\alpha)=4\pi cos\alpha$$ где $cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{4\frac{r^2}{l^2}+1}}$ | |||
| Следовательно: | |||
| $$B = \frac{\mu_0M}{\sqrt{1+4\frac{r^2}{l^2}}}$$ | |||
| $r/l \Longrightarrow 0$: | |||
| $$B \Longrightarrow \mu_0 M$$ | |||
| $l/r \Longrightarrow 0$: | |||
| $$B \Longrightarrow \frac{\mu_0 Ml}{2r}$$ | |||
| г)Представим поле прошлого цилиндра как суперпозицию полей тонкого цилиндра в центре и остальной части. $$\hat{B_тонкого}+\hat{B_ост}=\hat{B_цел}$$ | |||
| $$\hat{B_ост) = -(\hat{B_тонкого}-\hat{B_цел})$$ | |||
| $$B = \mu_0 M(1-\sqrt{1+4\frac{r^2}{l^2}})$$ | |||
| $r/l \Longrightarrow 0$: | |||
| $$B \Longrightarrow \frac{2\mu_0 Mr^2}{l^2}$$ | |||
| $l/r \Longrightarrow 0$: | |||
| $$B \Longrightarrow \mu_0 M$$ | |||
| #### Ответ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | |||