Постоянное магнитное поле > Магнитное поле тока распределенного по поверхности или пространству > Задача 9.3.11

Условие

$9.3.11.$
$а.\ $ Сплошной цилиндр вырезан из намагниченного до насыщения железа так, что его ось совпадает с направлением намагничивания. Докажите эквивалентность магнитного поля этого цилиндра полю поперечного тока, текущего
по его поверхности, линейная плотность которого равна магнитному моменту единицы объема железа.

$б.\ $Из длинного стержня, намагниченного до насыщения вдоль оси, вырезали кубик так, что одно из ребер кубика было направлено вдоль направления намагничивания. Во сколько раз индукция магнитного поля в центре кубика будет меньше индукции в стержне?

$в.\ $Определите индукцию магнитного поля в центре цилиндра длины $l$ и радиуса $r$. Магнитный момент единицы объема железа равен $M$. Чему равна эта индукция при $r ≪ l$? при $r ≫ l$?

$г.\ $Решите предыдущую задачу в случае, если по оси цилиндра просверлено отверстие малого радиуса.

Решение

$а)$Докажем что ток в намагниченном до насыщения цилиндре возникает только на его внешней поверхности:
$$j=\Delta \times M$$ $$i=\hat{n}\times M$$ где $\hat{n}$ - вектор нормали к поверхности.
Т.к. проводник намагничен до насыщение ротор $M=0$ следовательно внутри тока нет. На торцах векторное произведение обращается в нуль, поэтому там тока тоже нет $\Rightarrow$ ток есть только на торцах и по правилу векторного произведения его линейная плотность равна $i=M$

$б) $Разница в индукции возникает как следствие разницы телесных углов под которыми видны поверхности с током. Аналогично пункту а токи возникают только на внешней поверхности и отсутствуют на торцах и внутри проводников. В случае бесконечного стерня телесный угол равен $\Omega = 4\pi$. В случае квадрата $\Omega' = \frac{8\pi}{3}$ следовательно индукция меньше в $n=1,5$ раза.

$в)$Телесный угол под которым видна внешняя поверхность по которой течет ток равен $$\Omega = 4\pi - 2\cdot2\pi (1-cos\alpha)=4\pi cos\alpha$$ где $cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{4\frac{r^2}{l^2}+1}}$
Следовательно:
$$B = \frac{\mu_0M}{\sqrt{1+4\frac{r^2}{l^2}}}$$
$r/l \to 0$:
$$B \to \mu_0 M$$
$l/r \to 0$:
$$B \to \frac{\mu_0 Ml}{2r}$$
$г)$Представим поле прошлого цилиндра как суперпозицию полей тонкого цилиндра в центре и остальной части. $$\hat{B}_{тонкого}+\hat{B}_{ост}=\hat{B}_{цел}$$
$$\hat{B}_{ост} = -(\hat{B}_{тонкого}-\hat{B}_{цел})$$
$$B = \mu_0 M(1-\frac{1}{\sqrt{1+4\frac{r^2}{l^2}}})$$
$r/l \to 0$:
$$B \to \frac{2\mu_0 Mr^2}{l^2}$$
$l/r \to 0$:
$$B \to \mu_0 M$$

Ответ

$а) \ $ Магнитное поле цилиндра складывается из магнитных полей тонких дисков толщины $∆$, на которые можно разбить этот цилиндр. Магнитное же поле каждого диска сов падает с магнитным полем тока, текущего с линейной плотностью $M$ ($M$ — магнитный момент единицы объема железа); по внешней поверхности диска (см. решение задачи 9.2.19∗).

$б) \ $Направление индукции магнитного поля в центре кубика совпадает с направлением
намагничивания. Модуль этого вектора будет во столько раз меньше модуля индукции магнит
ного поля внутри стержня, во сколько раз $8π/3$ (телесный угол, под которым видны боковые
грани кубика 1–4) меньше $4π$, т. е. $n = 1,5$ раза.

$в)\ $$B = \frac{\mu_0M}{\sqrt{1+4\frac{r^2}{l^2}}}$$
$r/l \to 0$:
$$B \to \mu_0 M$$
$l/r \to 0$:
$$B \to \frac{\mu_0 Ml}{2r}$$
$г)\ $$$B = \mu_0 M(1-\frac{1}{\sqrt{1+4\frac{r^2}{l^2}}})$$
$r/l \to 0$:
$$B \to \frac{2\mu_0 Mr^2}{l^2}$$
$l/r \to 0$:
$$B \to \mu_0 M$$