Решение

Следуя за автором, будем обозначать полную энергию буквой $E$, кинетическую - $\mathcal{E}$

В пороговом режиме все рождённые частицы покоятся друг относительно друга, то есть в системе центра масс их суммарная энергия минимальна и равна сумме масс покоя, а импульс равен нулю. Найдём пороговые энергии для трёх случаев, ответом естественно будут все энергии не меньшие пороговой

$\textbf{1.}$
Такие задачи обычно решаются так: записывается инвариант для всей системы до и после рождения пары. Далее, чтобы не решать сложные уравнения относительно скорости быстрой частицы, удобно записать инвариант отдельно для быстрой частицы, чтобы выразить её импульс.
$$I_1=\frac{(E_1+m_pc^2)^2}{c^2}-p_1^2=(2m_pc^2+m_{\pi^0}c^2)^2\tag{1}$$
$$(m_pc^2)^2=\frac{E_1^2}{c^2}-p_1^2\tag{2}$$
$$E_1=\mathcal{E}_1+m_pc^2\tag{3}$$
Решим эту систему:
$$\frac{(E_1+m_pc^2)^2}{c^2}-\frac{E_1^2}{c^2}=(2m_pc^2+m_{\pi^0}c^2)^2-(m_pc^2)^2$$
$$2E_1m_pc^2=с^4((2m_p+m_{\pi^0})^2-2m_p^2)$$
$$E_1=с^2\frac{(2m_p+m_{\pi^0})^2-2m_p^2}{2m_p}$$
$$\mathcal{E}_1=E_1-m_pc^2=с^2\frac{(2m_p+m_{\pi^0})^2-4m_p^2}{2m_p}=с^2\frac{(2m_p+m_{\pi^0})^2-4m_p^2}{2m_p}$$
$$\mathcal{E}_1=m_{\pi^0}c^2 \frac{m_{\pi^0}+4m_p}{2m_p}\tag{4}$$
$\textbf{2.}$
Случаи $1$ и $2$ отличаются только массой мезонов, поэтому ответ будет таким же с поправкой на эту массу:
$$\mathcal{E}_2=m_{\psi}c^2 \frac{m_{\psi}+4m_p}{2m_p}\tag{5}$$
$\textbf{3.}$
Тут полностью аналогично:
$$I_3=\frac{(E_3+m_pc^2)^2}{c^2}-p_3^2=(4m_pc^2)^2\tag{6}$$
$$(m_pc^2)^2=\frac{E_3^2}{c^2}-p_3^2\tag{7}$$
$(7)\to(6)$
$$\frac{(E_3+m_pc^2)^2}{c^2}-\frac{E_3^2}{c^2}=(4m_pc^2)^2-(m_pc^2)^2$$
$$2E_3m_p=с^2((4m_p)^2-2m_p^2)$$
$$E_3=7m_pс^2\quad \to\quad \mathcal{E}_3=6 m_p c^2$$
$No:$
У Савченко с ответе опечатка