| Следуя за автором, будем обозначать полную энергию буквой $E$, кинетическую - $\mathcal{E}$ | | Следуя за автором, будем обозначать полную энергию буквой $E$, кинетическую - $\mathcal{E}$ |
| | | |
| В пороговом режиме все рождённые частицы покоятся друг относительно друга, то есть в системе центра масс их суммарная энергия минимальна и равна сумме масс покоя, а импульс равен нулю. Найдём пороговые энергии для трёх случаев, ответом естественно будут все энергии не меньшие пороговой | | В пороговом режиме все рождённые частицы покоятся друг относительно друга, то есть в системе центра масс их суммарная энергия минимальна и равна сумме масс покоя, а импульс равен нулю. Найдём пороговые энергии для трёх случаев, ответом естественно будут все энергии не меньшие пороговой |
| | | |
| $\textbf{1.}$ | | $\textbf{1.}$ |
| Такие задачи обычно решаются так: записывается инвариант для всей системы до и после рождения пары. Далее, чтобы не решать сложные уравнения относительно скорости быстрой частицы, удобно записать инвариант отдельно для быстрой частицы, чтобы выразить её импульс. | | Такие задачи обычно решаются так: записывается инвариант для всей системы до и после рождения пары. Далее, чтобы не решать сложные уравнения относительно скорости быстрой частицы, удобно записать инвариант отдельно для быстрой частицы, чтобы выразить её импульс. |
| $$ | | $$ |
| I_1=\frac{(E_1+m_pc^2)^2}{c^2}-p_1^2=(2m_pc^2+m_{\pi^0}c^2)^2\tag{1} | | I_1=\frac{(E_1+m_pc^2)^2}{c^2}-p_1^2=(2m_pc^2+m_{\pi^0}c^2)^2\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| (m_pc^2)^2=\frac{E_1^2}{c^2}-p_1^2\tag{2} | | (m_pc^2)^2=\frac{E_1^2}{c^2}-p_1^2\tag{2} |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| E_1=\mathcal{E}_1+m_pc^2\tag{3} | | E_1=\mathcal{E}_1+m_pc^2\tag{3} |
| $$ | | $$ |
| Решим эту систему: | | Решим эту систему: |
| $$ | | $$ |
| \frac{(E_1+m_pc^2)^2}{c^2}-\frac{E_1^2}{c^2}=(2m_pc^2+m_{\pi^0}c^2)^2-(m_pc^2)^2 | | \frac{(E_1+m_pc^2)^2}{c^2}-\frac{E_1^2}{c^2}=(2m_pc^2+m_{\pi^0}c^2)^2-(m_pc^2)^2 |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| 2E_1m_pc^2=с^4((2m_p+m_{\pi^0})^2-2m_p^2) | | 2E_1m_pc^2=с^4((2m_p+m_{\pi^0})^2-2m_p^2) |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| E_1=с^2\frac{(2m_p+m_{\pi^0})^2-2m_p^2}{2m_p} | | E_1=с^2\frac{(2m_p+m_{\pi^0})^2-2m_p^2}{2m_p} |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| \mathcal{E}_1=E_1-m_pc^2=с^2\frac{(2m_p+m_{\pi^0})^2-4m_p^2}{2m_p}=с^2\frac{(2m_p+m_{\pi^0})^2-4m_p^2}{2m_p} | | \mathcal{E}_1=E_1-m_pc^2=с^2\frac{(2m_p+m_{\pi^0})^2-4m_p^2}{2m_p}=с^2\frac{(2m_p+m_{\pi^0})^2-4m_p^2}{2m_p} |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| \mathcal{E}_1=m_{\pi^0}c^2 \frac{m_{\pi^0}+4m_p}{2m_p}\tag{4} | | \mathcal{E}_1=m_{\pi^0}c^2 \frac{m_{\pi^0}+4m_p}{2m_p}\tag{4} |
| $$ | | $$ |
| $\textbf{2.}$ | | $\textbf{2.}$ |
| Случаи $1$ и $2$ отличаются только массой мезонов, поэтому ответ будет таким же с поправкой на эту массу: | | Случаи $1$ и $2$ отличаются только массой мезонов, поэтому ответ будет таким же с поправкой на эту массу: |
| $$ | | $$ |
| \mathcal{E}_2=m_{\psi}c^2 \frac{m_{\psi}+4m_p}{2m_p}\tag{5} | | \mathcal{E}_2=m_{\psi}c^2 \frac{m_{\psi}+4m_p}{2m_p}\tag{5} |
| $$ | | $$ |
| $\textbf{3.}$ | | $\textbf{3.}$ |
| Тут полностью аналогично: | | Тут полностью аналогично: |
| $$ | | $$ |
| I_3=\frac{(E_3+m_pc^2)^2}{c^2}-p_3^2=(4m_pc^2)^2\tag{6} | | I_3=\frac{(E_3+m_pc^2)^2}{c^2}-p_3^2=(4m_pc^2)^2\tag{6} |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| (m_pc^2)^2=\frac{E_3^2}{c^2}-p_3^2\tag{7} | | (m_pc^2)^2=\frac{E_3^2}{c^2}-p_3^2\tag{7} |
| $$ | | $$ |
| $(7)\to(6)$ | | $(7)\to(6)$ |
| $$ | | $$ |
| \frac{(E_3+m_pc^2)^2}{c^2}-\frac{E_3^2}{c^2}=(4m_pc^2)^2-(m_pc^2)^2 | | \frac{(E_3+m_pc^2)^2}{c^2}-\frac{E_3^2}{c^2}=(4m_pc^2)^2-(m_pc^2)^2 |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| 2E_3m_p=с^2((4m_p)^2-2m_p^2) | | 2E_3m_p=с^2((4m_p)^2-2m_p^2) |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| E_3=7m_pс^2\quad \to\quad \mathcal{E}_3=6 m_p c^2 | | E_3=7m_pс^2\quad \to\quad \mathcal{E}_3=6 m_p c^2 |
| $$ | | $$ |
| $No:$ | | $No:$ |
| У Савченко с ответе опечатка | | У Савченко с ответе опечатка |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| $$ | | $$ |
| \mathcal{E}_1\geqslant m_{\pi^0}c^2 \frac{m_{\pi^0}+4m_p}{2m_p} | | \mathcal{E}_1\geqslant m_{\pi^0}c^2 \frac{m_{\pi^0}+4m_p}{2m_p} |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| \mathcal{E}_2\geqslant m_{\psi}c^2 \frac{m_{\psi}+4m_p}{2m_p} | | \mathcal{E}_2\geqslant m_{\psi}c^2 \frac{m_{\psi}+4m_p}{2m_p} |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| \mathcal{E}_3\geqslant 6 m_p c^2 | | \mathcal{E}_3\geqslant 6 m_p c^2 |
| $$ | | $$ |
