Edit to “Решение”

jzmicer edited Jun 9, 2026, 1:20 PM

View solution History

revision #18498 parent #18497 ← older

ru/14.5.16.md +1 −1


			### Условие
			14.5.16. Быстрые протоны сталкиваются с неподвижными протонами. При какой кинетической энергии быстрых протонов могут рождаться

			$1.$ $\pi^0$-мезоны: $p + p \to p + p + \pi^0 $?

			$2.$ $\psi$-мезоны: $p + p \to p + p + \psi $?

			$3.$ Протон-мезонные пары: $p + p \to p + p + (\bar{p} + p)$?

			### Решение
			Следуя за автором, будем обозначать полную энергию буквой $E$, кинетическую - $\mathcal{E}$

			В пороговом режиме все рождённые частицы покоятся друг относительно друга, то есть в системе центра масс их суммарная энергия минимальна и равна сумме масс покоя, а импульс равен нулю. Найдём пороговые энергии для трёх случаев, ответом естественно будут все энергии не меньшие пороговой

		@@ -16,7 +16,7 @@Решение
			$\textbf{1.}$
			Такие задачи обычно решаются так: записывается инвариант для всей системы до и после рождения пары. Далее, чтобы не решать сложные уравнения относительно скорости быстрой частицы, удобно записать инвариант отдельно для быстрой частицы, чтобы выразить её импульс.
			$$
		−	I_1=(E_1+m_pc^2)^2-p_1^2c^2=(2m_pc^2+m_{\pi^0}^2c^2\tag{1}
		+	I_1=(E_1+m_pc^2)^2-p_1^2c^2=(2m_pc+m_{\pi^0}^2c)^2\tag{1}
			$$
			$$
			(m_pc^2)^2=E_1^2-p_1^2c^2\tag{2}
			$$
			$$
			E_1=\mathcal{E}_1+m_pc^2\tag{3}
			$$
			Решим эту систему:

			$$
			2E_1m_pc^2=с^4((2m_p+m_{\pi^0})^2-2m_p^2)
			$$
			$$
			E_1=с^2\frac{(2m_p+m_{\pi^0})^2-2m_p^2}{2m_p}
			$$
			$$
			\mathcal{E}_1=E_1-m_pc^2=с^2\frac{(2m_p+m_{\pi^0})^2-4m_p^2}{2m_p}=с^2\frac{(2m_p+m_{\pi^0})^2-4m_p^2}{2m_p}
			$$
			$$
			\mathcal{E}_1=m_{\pi^0}c^2 \frac{m_{\pi^0}+4m_p}{2m_p}\tag{4}
			$$
			$\textbf{2.}$
			Случаи $1$ и $2$ отличаются только массой мезонов, поэтому ответ будет таким же с поправкой на эту массу:
			$$
			\mathcal{E}_2=m_{\psi}c^2 \frac{m_{\psi}+4m_p}{2m_p}\tag{5}
			$$
			$\textbf{3.}$
			Тут полностью аналогично:
			$$
			I_3=(E_3+m_pc^2)^2-p_3^2c^2=(4m_pc^2)^2\tag{6}
			$$
			$$
			(m_pc)^2=\frac{E_3^2}{c^2}-p_3^2\tag{7}
			$$
			$(7)\to(6)$
			$$
			\frac{(E_3+m_pc^2)^2}{c^2}-\frac{E_3^2}{c^2}=(4m_pc)^2-(m_pc)^2
			$$
			$$
			2E_3m_p=с^2((4m_p)^2-2m_p^2)
			$$
			$$
			E_3=7m_pс^2\quad \to\quad \mathcal{E}_3=6 m_p c^2
			$$
			$No:$
			У Савченко с ответе опечатка
			#### Ответ
			$$
			\mathcal{E}_1\geqslant m_{\pi^0}c^2 \frac{m_{\pi^0}+4m_p}{2m_p}
			$$
			$$
			\mathcal{E}_2\geqslant m_{\psi}c^2 \frac{m_{\psi}+4m_p}{2m_p}
			$$
			$$
			\mathcal{E}_3\geqslant 6 m_p c^2
			$$
		unchanged lines 53


	### Условие		### Условие
	14.5.16. Быстрые протоны сталкиваются с неподвижными протонами. При какой кинетической энергии быстрых протонов могут рождаться		14.5.16. Быстрые протоны сталкиваются с неподвижными протонами. При какой кинетической энергии быстрых протонов могут рождаться

	$1.$ $\pi^0$-мезоны: $p + p \to p + p + \pi^0 $?		$1.$ $\pi^0$-мезоны: $p + p \to p + p + \pi^0 $?

	$2.$ $\psi$-мезоны: $p + p \to p + p + \psi $?		$2.$ $\psi$-мезоны: $p + p \to p + p + \psi $?

	$3.$ Протон-мезонные пары: $p + p \to p + p + (\bar{p} + p)$?		$3.$ Протон-мезонные пары: $p + p \to p + p + (\bar{p} + p)$?

	### Решение		### Решение
	Следуя за автором, будем обозначать полную энергию буквой $E$, кинетическую - $\mathcal{E}$		Следуя за автором, будем обозначать полную энергию буквой $E$, кинетическую - $\mathcal{E}$

	В пороговом режиме все рождённые частицы покоятся друг относительно друга, то есть в системе центра масс их суммарная энергия минимальна и равна сумме масс покоя, а импульс равен нулю. Найдём пороговые энергии для трёх случаев, ответом естественно будут все энергии не меньшие пороговой		В пороговом режиме все рождённые частицы покоятся друг относительно друга, то есть в системе центра масс их суммарная энергия минимальна и равна сумме масс покоя, а импульс равен нулю. Найдём пороговые энергии для трёх случаев, ответом естественно будут все энергии не меньшие пороговой

	@@ -16,7 +16,7 @@Решение
	$\textbf{1.}$		$\textbf{1.}$
	Такие задачи обычно решаются так: записывается инвариант для всей системы до и после рождения пары. Далее, чтобы не решать сложные уравнения относительно скорости быстрой частицы, удобно записать инвариант отдельно для быстрой частицы, чтобы выразить её импульс.		Такие задачи обычно решаются так: записывается инвариант для всей системы до и после рождения пары. Далее, чтобы не решать сложные уравнения относительно скорости быстрой частицы, удобно записать инвариант отдельно для быстрой частицы, чтобы выразить её импульс.
	$$		$$
	I_1=(E_1+m_pc^2)^2-p_1^2c^2=(2m_pc^2+m_{\pi^0}^2c^2\tag{1}		I_1=(E_1+m_pc^2)^2-p_1^2c^2=(2m_pc+m_{\pi^0}^2c)^2\tag{1}
	$$		$$
	$$		$$
	(m_pc^2)^2=E_1^2-p_1^2c^2\tag{2}		(m_pc^2)^2=E_1^2-p_1^2c^2\tag{2}
	$$		$$
	$$		$$
	E_1=\mathcal{E}_1+m_pc^2\tag{3}		E_1=\mathcal{E}_1+m_pc^2\tag{3}
	$$		$$
	Решим эту систему:		Решим эту систему:

	$$		$$
	2E_1m_pc^2=с^4((2m_p+m_{\pi^0})^2-2m_p^2)		2E_1m_pc^2=с^4((2m_p+m_{\pi^0})^2-2m_p^2)
	$$		$$
	$$		$$
	E_1=с^2\frac{(2m_p+m_{\pi^0})^2-2m_p^2}{2m_p}		E_1=с^2\frac{(2m_p+m_{\pi^0})^2-2m_p^2}{2m_p}
	$$		$$
	$$		$$
	\mathcal{E}_1=E_1-m_pc^2=с^2\frac{(2m_p+m_{\pi^0})^2-4m_p^2}{2m_p}=с^2\frac{(2m_p+m_{\pi^0})^2-4m_p^2}{2m_p}		\mathcal{E}_1=E_1-m_pc^2=с^2\frac{(2m_p+m_{\pi^0})^2-4m_p^2}{2m_p}=с^2\frac{(2m_p+m_{\pi^0})^2-4m_p^2}{2m_p}
	$$		$$
	$$		$$
	\mathcal{E}_1=m_{\pi^0}c^2 \frac{m_{\pi^0}+4m_p}{2m_p}\tag{4}		\mathcal{E}_1=m_{\pi^0}c^2 \frac{m_{\pi^0}+4m_p}{2m_p}\tag{4}
	$$		$$
	$\textbf{2.}$		$\textbf{2.}$
	Случаи $1$ и $2$ отличаются только массой мезонов, поэтому ответ будет таким же с поправкой на эту массу:		Случаи $1$ и $2$ отличаются только массой мезонов, поэтому ответ будет таким же с поправкой на эту массу:
	$$		$$
	\mathcal{E}_2=m_{\psi}c^2 \frac{m_{\psi}+4m_p}{2m_p}\tag{5}		\mathcal{E}_2=m_{\psi}c^2 \frac{m_{\psi}+4m_p}{2m_p}\tag{5}
	$$		$$
	$\textbf{3.}$		$\textbf{3.}$
	Тут полностью аналогично:		Тут полностью аналогично:
	$$		$$
	I_3=(E_3+m_pc^2)^2-p_3^2c^2=(4m_pc^2)^2\tag{6}		I_3=(E_3+m_pc^2)^2-p_3^2c^2=(4m_pc^2)^2\tag{6}
	$$		$$
	$$		$$
	(m_pc)^2=\frac{E_3^2}{c^2}-p_3^2\tag{7}		(m_pc)^2=\frac{E_3^2}{c^2}-p_3^2\tag{7}
	$$		$$
	$(7)\to(6)$		$(7)\to(6)$
	$$		$$
	\frac{(E_3+m_pc^2)^2}{c^2}-\frac{E_3^2}{c^2}=(4m_pc)^2-(m_pc)^2		\frac{(E_3+m_pc^2)^2}{c^2}-\frac{E_3^2}{c^2}=(4m_pc)^2-(m_pc)^2
	$$		$$
	$$		$$
	2E_3m_p=с^2((4m_p)^2-2m_p^2)		2E_3m_p=с^2((4m_p)^2-2m_p^2)
	$$		$$
	$$		$$
	E_3=7m_pс^2\quad \to\quad \mathcal{E}_3=6 m_p c^2		E_3=7m_pс^2\quad \to\quad \mathcal{E}_3=6 m_p c^2
	$$		$$
	$No:$		$No:$
	У Савченко с ответе опечатка		У Савченко с ответе опечатка
	#### Ответ		#### Ответ
	$$		$$
	\mathcal{E}_1\geqslant m_{\pi^0}c^2 \frac{m_{\pi^0}+4m_p}{2m_p}		\mathcal{E}_1\geqslant m_{\pi^0}c^2 \frac{m_{\pi^0}+4m_p}{2m_p}
	$$		$$
	$$		$$
	\mathcal{E}_2\geqslant m_{\psi}c^2 \frac{m_{\psi}+4m_p}{2m_p}		\mathcal{E}_2\geqslant m_{\psi}c^2 \frac{m_{\psi}+4m_p}{2m_p}
	$$		$$
	$$		$$
	\mathcal{E}_3\geqslant 6 m_p c^2		\mathcal{E}_3\geqslant 6 m_p c^2
	$$		$$
	unchanged lines 53