Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/5.8.14.md
+50 −5
| @@ -1,13 +1,58 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $5.8.1 | ||
| − | |||
| + | $5.8.13.$ С помощью термодинамического процесса покажите, что при температуре \( T \): | ||
| + | \begin{enumerate} | ||
| + | \item[a)] давление идеального газа в ограниченной области в \( \exp(U/kT) \) раз меньше, чем в остальном пространстве, если эта область отделена от остального пространства энергетическим потенциальным барьером, равным для каждой частицы газа \( U \); | ||
| + | \item[б)] концентрация молекул растворенного вещества в ограниченной области в \( \exp(U/kT) \) раз меньше, чем в остальном пространстве, занятом растворителем, если эта область отделена от остальной части растворителя энергетическим потенциальным барьером, равным для каждой молекулы растворенного вещества \( U \), а взаимодействием этих молекул друг с другом можно пренебречь. | ||
| ### Решение | |||
| − |  | ||
| − | :) | ||
| + | Вероятность состояний, которые отличаются только потенциальной энергией, одинакова. На рис. $а$ и $в$ приведены два состояния идеального газа, наполовину заполняющего одинаковый объем и имеющие одинаковую вероятность. Перейдем из состояния $а$ в состояние $в$ при постоянной температуре, пользуясь двумя поршнями так, как это изображено на рисунках. Изменением логарифма вероятности состояния при таком переходе | ||
| + | \[ | ||
| + | \Delta S = \frac{NU}{kT} + N \ln c, | ||
| + | \] | ||
| + | где \(N\) — число молекул газа, $c=\frac{P_1}{P_0}$ — отношение значений давления газа над и под штриховой линией, разделяющей области с разным потенциалом. | ||
| + | Что бы это показать, надо прочитать задачу $5.8.9$ и немного подумать. | ||
| + | |||
| + | Из неё следует, что изменение логарифма вероятности равно $\frac{Q}{kT}$. | ||
| + | Наш многоуважаемый Газ перешёл в область пониженного потенциала, то есть получил $Q_1=NU,$ и сделал всё это при постоянной температуре, то есть изотермически изменил свой объём, то есть произошло изотермическое расширение. При этом оно прошло без нагревателя, т.е. газ "получил" (потратил) $Q_2=-A=-NkTln(\frac{V_1}{V_0})=-NkTln(\frac{P_1}{P_0})=NkTln(c)$ энергии наличными в джоулях. | ||
| + | |||
| + | По итогу наш ГаЗ получил $Q=Q_1+Q_2=NkTln(c)+NU$ (энергии наличными в джоулях. | ||
| + | |||
| + | Изменение логарифма вероятности равно: \[ | ||
| + | \Delta S =\frac{Q}{kT}= \frac{NU}{kT} + N \ln c, | ||
| + | \] | ||
| + | Что от нас и требовалось. А так какмы перевели газ из {а} в {в}, то вероятность не поменялась! | ||
| + | |||
| + | Значит, $с=exp(-\frac{NU}{KT})$ | ||
| + | |||
| + | |||
| + | В случае (б) надо вспомнить и решить/прочитать решение $5.8.11$, где доказывается, что растворённое в-во в малой концентрации р-ра ведёт себя как идеальный газ, даже давление такое же оказыват. Следовательно, надо провести такой же процесс, как в (а), только Весь сосуд доолжен быть заполнен растворителем, а вместо поршней $-$ полунепроницаемые перегородки, удерживающие в-во между собой. Решение идентично ввиду идентичности модели. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! | ||
| + | Признаюсь честно: если кто-либо смог лучше меня понять логику Оливера Яковлевича в этой задаче, пусть свяжется со мной, и мы исправим, потому что я не уверен в решении с помощью термодинамического процесса. Особенно мне непонятен знак перед работой изотермического расширения и вообще ситуация с ним. | ||
| + | !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! | ||
| + | |||
| + | Но есть более общий и красивый, на мой взгляд, способ показать факт об изменении давления и вероятности. | ||
| + | Заметим, что плотность однородного газа в точке пропорцианальна плотности вероятности частиц в этой точке, так как $f=\frac{\frac{dn}{N}}{dV}$, а $\rho=\frac{dm}{dV}\propto\frac{\frac{dm}{dV}}{M}$, так как масса газа в сосуде не меняется ($M$ и $N - $ константы). А при постоянной температуре $\rho=\frac{P\mu}{RT}$, то есть $P\propto f.$ | ||
| + | Значит, вероятность и давление изменяются пропорцианально. | ||
| + | |||
| + | Что касается давления. Представим газ, состоящий из одинаковых молекул, в потенциальном поле $\varphi(\vec{r})$, где $\varphi-$ потенциальная энергия одной молекулы. Тогда в объёме $dV$: | ||
| + | Потенциальная сила на объём: $\vec{F}_{potential}=-dn\vec{\nabla}\varphi=-\frac{P}{kT}\vec{\nabla}\varphi;$ | ||
| + | Сила давления равна минус интегралу по поверхности вектора $\vec{a}P$, где $\vec{a}-$ нормаль изнутри порерхности, то есть $\vec{F}_{pressure}=-\vec{\nabla}P$. | ||
| + | |||
| + | Объём находится в равновесии, векторная сумма этих двух сил равна 0, тогда мы получим: | ||
| + | $$-\frac{P}{kT}\vec{\nabla}\varphi=\vec{\nabla} P$$ | ||
| + | $$-\vec{\nabla}\frac{\varphi}{kT}=\vec{\nabla} ln(P)$$ | ||
| + | И, проинтегрировав покомпонентно вдоль осей $x, y, z$, можем получить: | ||
| + | $$ln\frac{P_2}{P_1}=\frac{\varphi_1-\varphi_2}{kT}$$ | ||
| + | $$P_2=P_1\cdot exp(\frac{\varphi_1-\varphi_2}{kT})=P_1\cdot exp(\frac{Q}{kT})$$ | ||
| + | Где $Q=\varphi_1-\varphi_2$ есть энергия, полученная частицей системы (газа или разреженных растворённых частиц), что и требовалось доказать. | ||
| + | |||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | :) | ||
| @@ -1,13 +1,58 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $5.8.1 |
$5.8.13.$ С помощью термодинамического процесса покажите, что при температуре \( T \): | ||
| \begin{enumerate} | |||
| \item[a)] давление идеального газа в ограниченной области в \( \exp(U/kT) \) раз меньше, чем в остальном пространстве, если эта область отделена от остального пространства энергетическим потенциальным барьером, равным для каждой частицы газа \( U \); | |||
| \item[б)] концентрация молекул растворенного вещества в ограниченной области в \( \exp(U/kT) \) раз меньше, чем в остальном пространстве, занятом растворителем, если эта область отделена от остальной части растворителя энергетическим потенциальным барьером, равным для каждой молекулы растворенного вещества \( U \), а взаимодействием этих молекул друг с другом можно пренебречь. | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
|  | ||
| :) | Вероятность состояний, которые отличаются только потенциальной энергией, одинакова. На рис. $а$ и $в$ приведены два состояния идеального газа, наполовину заполняющего одинаковый объем и имеющие одинаковую вероятность. Перейдем из состояния $а$ в состояние $в$ при постоянной температуре, пользуясь двумя поршнями так, как это изображено на рисунках. Изменением логарифма вероятности состояния при таком переходе | ||
| \[ | |||
| \Delta S = \frac{NU}{kT} + N \ln c, | |||
| \] | |||
| где \(N\) — число молекул газа, $c=\frac{P_1}{P_0}$ — отношение значений давления газа над и под штриховой линией, разделяющей области с разным потенциалом. | |||
| Что бы это показать, надо прочитать задачу $5.8.9$ и немного подумать. | |||
| Из неё следует, что изменение логарифма вероятности равно $\frac{Q}{kT}$. | |||
| Наш многоуважаемый Газ перешёл в область пониженного потенциала, то есть получил $Q_1=NU,$ и сделал всё это при постоянной температуре, то есть изотермически изменил свой объём, то есть произошло изотермическое расширение. При этом оно прошло без нагревателя, т.е. газ "получил" (потратил) $Q_2=-A=-NkTln(\frac{V_1}{V_0})=-NkTln(\frac{P_1}{P_0})=NkTln(c)$ энергии наличными в джоулях. | |||
| По итогу наш ГаЗ получил $Q=Q_1+Q_2=NkTln(c)+NU$ (энергии наличными в джоулях. | |||
| Изменение логарифма вероятности равно: \[ | |||
| \Delta S =\frac{Q}{kT}= \frac{NU}{kT} + N \ln c, | |||
| \] | |||
| Что от нас и требовалось. А так какмы перевели газ из {а} в {в}, то вероятность не поменялась! | |||
| Значит, $с=exp(-\frac{NU}{KT})$ | |||
| В случае (б) надо вспомнить и решить/прочитать решение $5.8.11$, где доказывается, что растворённое в-во в малой концентрации р-ра ведёт себя как идеальный газ, даже давление такое же оказыват. Следовательно, надо провести такой же процесс, как в (а), только Весь сосуд доолжен быть заполнен растворителем, а вместо поршней $-$ полунепроницаемые перегородки, удерживающие в-во между собой. Решение идентично ввиду идентичности модели. | |||
| !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! | |||
| Признаюсь честно: если кто-либо смог лучше меня понять логику Оливера Яковлевича в этой задаче, пусть свяжется со мной, и мы исправим, потому что я не уверен в решении с помощью термодинамического процесса. Особенно мне непонятен знак перед работой изотермического расширения и вообще ситуация с ним. | |||
| !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! | |||
| Но есть более общий и красивый, на мой взгляд, способ показать факт об изменении давления и вероятности. | |||
| Заметим, что плотность однородного газа в точке пропорцианальна плотности вероятности частиц в этой точке, так как $f=\frac{\frac{dn}{N}}{dV}$, а $\rho=\frac{dm}{dV}\propto\frac{\frac{dm}{dV}}{M}$, так как масса газа в сосуде не меняется ($M$ и $N - $ константы). А при постоянной температуре $\rho=\frac{P\mu}{RT}$, то есть $P\propto f.$ | |||
| Значит, вероятность и давление изменяются пропорцианально. | |||
| Что касается давления. Представим газ, состоящий из одинаковых молекул, в потенциальном поле $\varphi(\vec{r})$, где $\varphi-$ потенциальная энергия одной молекулы. Тогда в объёме $dV$: | |||
| Потенциальная сила на объём: $\vec{F}_{potential}=-dn\vec{\nabla}\varphi=-\frac{P}{kT}\vec{\nabla}\varphi;$ | |||
| Сила давления равна минус интегралу по поверхности вектора $\vec{a}P$, где $\vec{a}-$ нормаль изнутри порерхности, то есть $\vec{F}_{pressure}=-\vec{\nabla}P$. | |||
| Объём находится в равновесии, векторная сумма этих двух сил равна 0, тогда мы получим: | |||
| $$-\frac{P}{kT}\vec{\nabla}\varphi=\vec{\nabla} P$$ | |||
| $$-\vec{\nabla}\frac{\varphi}{kT}=\vec{\nabla} ln(P)$$ | |||
| И, проинтегрировав покомпонентно вдоль осей $x, y, z$, можем получить: | |||
| $$ln\frac{P_2}{P_1}=\frac{\varphi_1-\varphi_2}{kT}$$ | |||
| $$P_2=P_1\cdot exp(\frac{\varphi_1-\varphi_2}{kT})=P_1\cdot exp(\frac{Q}{kT})$$ | |||
| Где $Q=\varphi_1-\varphi_2$ есть энергия, полученная частицей системы (газа или разреженных растворённых частиц), что и требовалось доказать. | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | :) | ||