New solution
ru/5.8.5.md
+32 −0
| @@ -0,0 +1,32 @@ | |||
| + | ### Условие | ||
| + | |||
| + | $5.8.5.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | |||
| + | ### Решение | ||
| + | |||
| + |  | ||
| + | |||
| + | {а.} Заметим, что при отражении просто меняет знак компонента скорости. Можно развернуть скорость, но это рассматривать тяжело. Проще рассмотреть движение в отражённом квадрате!!! Можно отражать квадраты не только горизонтально, но и вертикально, как движение в сетке. Но горизонтально это делать проще всего. | ||
| + | |||
| + | На рисунке движение по траектории развёрнуто с помощью зеркальных отражений в движение между двумя параллельными прямыми. Соответствующие точки траекторий отмечены одинаковыми буквами. | ||
| + | |||
| + | Нам просто надо, что бы при новом угле за целое количество вертикальных циклов стена-потолок-стена, точка удара прошла целое количество длин стороны горизонтальных. | ||
| + | Из этого рисунка следует: | ||
| + | |||
| + | \[ | ||
| + | v' \approx \frac{x}{2A'B'} v \approx v \Delta \sqrt{2}; \quad \Delta \approx \frac{1}{2} \left[ \tan \left( \frac{\pi}{4} + \Delta \right) - 1 \right] = \frac{k}{2n}, | ||
| + | \] | ||
| + | |||
| + | где $k$ и $n$ — целые числа, не имеющие общих делителей, | ||
| + | |||
| + | \[ | ||
| + | \tan(\pi/4 + \Delta) - 1 = k/n; \quad h_1 \approx 2a \Delta/k, \quad h_2 = 0. | ||
| + | \] | ||
| + | |||
| + | {б.} Маловероятно, что $\tan(\pi/4 + \Delta) - 1$ точно равен простой дроби, например 0,03, поскольку вблизи этого числа может быть сколь угодно много других чисел, например чисел вида $0,03 + \sqrt{2}/n$, где $n$ — целое число, которые отличаются от 0,03 на сколь угодно малую величину. Эти числа называются иррациональными, и в математике доказывается, что множество этих чисел мощнее множества простых дробей. Если число иррационально, то траектория не замкнута. | ||
| + | |||
| + | {в.} $P = V/a^3$, поскольку траектория не замкнута. И нету "запрещённых областей" | ||
| + | |||
| + | #### Ответ | ||
| + | |||
| + | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| @@ -0,0 +1,32 @@ | |||
| ### Условие | |||
| $5.8.5.$ [Вставьте условие задачи] | |||
| ### Решение | |||
|  | |||
| {а.} Заметим, что при отражении просто меняет знак компонента скорости. Можно развернуть скорость, но это рассматривать тяжело. Проще рассмотреть движение в отражённом квадрате!!! Можно отражать квадраты не только горизонтально, но и вертикально, как движение в сетке. Но горизонтально это делать проще всего. | |||
| На рисунке движение по траектории развёрнуто с помощью зеркальных отражений в движение между двумя параллельными прямыми. Соответствующие точки траекторий отмечены одинаковыми буквами. | |||
| Нам просто надо, что бы при новом угле за целое количество вертикальных циклов стена-потолок-стена, точка удара прошла целое количество длин стороны горизонтальных. | |||
| Из этого рисунка следует: | |||
| \[ | |||
| v' \approx \frac{x}{2A'B'} v \approx v \Delta \sqrt{2}; \quad \Delta \approx \frac{1}{2} \left[ \tan \left( \frac{\pi}{4} + \Delta \right) - 1 \right] = \frac{k}{2n}, | |||
| \] | |||
| где $k$ и $n$ — целые числа, не имеющие общих делителей, | |||
| \[ | |||
| \tan(\pi/4 + \Delta) - 1 = k/n; \quad h_1 \approx 2a \Delta/k, \quad h_2 = 0. | |||
| \] | |||
| {б.} Маловероятно, что $\tan(\pi/4 + \Delta) - 1$ точно равен простой дроби, например 0,03, поскольку вблизи этого числа может быть сколь угодно много других чисел, например чисел вида $0,03 + \sqrt{2}/n$, где $n$ — целое число, которые отличаются от 0,03 на сколь угодно малую величину. Эти числа называются иррациональными, и в математике доказывается, что множество этих чисел мощнее множества простых дробей. Если число иррационально, то траектория не замкнута. | |||
| {в.} $P = V/a^3$, поскольку траектория не замкнута. И нету "запрещённых областей" | |||
| #### Ответ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | |||