Edits to “Условие”, “Решение”, “Литература”

igor edited
View solution History
revision #18805 parent #18800 ← older newer →
ru/11.4.24.md +74 −3
@@ -1,11 +1,82 @@
### Условие
−$11.4.24.$ [Вставьте условие задачи]
+$11.4.24.$ В колебательном контуре, состоящем из последовательно соединенных сопротивления $R$, катушки индуктивности $L$ и конденсатора емкости $C$, происходят затухающие колебания. За некоторое время амплитуда тока в контуре уменьшилась от значения $I_1$ до значения $I_2$. Какое количество теплоты выделилось за это время на сопротивлении?
+
### Решение
−132
+Если представить, что в процессе затухающих колебаний амплитуда меняется медленно, то можно решить задачу, используя сведения из теории идеального колебательного контура, в котором колебания не прекращаются.
+Если говорить подробнее, то из второго правила Кирхгофа для цепи $RLC$
+
+$$
+iR+L\frac{di}{dt}+U_C=0,
+$$
+
+где $i$ есть ток в контуре, $U_C$ есть напряжение на конденсаторе в контуре ($i$ и $U_C$ зависят от времени),
+
+можно получить диффур [1]
+
+$$
+\frac{d^2q}{dt^2}+2\gamma\frac{dq}{dt}+\omega_0^2q=0,
+$$
+
+где $q$ есть заряд конденсатора, $\gamma=R/(2L)$ есть коэффициент затухания, $\omega_0^2=1/(LC)$ есть собственная частота колебательной системы.
+
+Этот диффур в общем имеет разные решения [1], но только одно из них имеет вид колебаний, как и говорится в задаче, а именно решение:
+
+$$
+q=ae^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\delta\right),
+$$
+
+где $a$ и $\delta$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояний системы, в которых про эту систему что-то известно; $\omega^2=\omega_0^2-\gamma^2$.
+
+Итак, в нашей задаче и заряд и ток меняются как затузающий синус (см. рисунок далее).
+
+![|965x837, 100%](../../img/11.4.24/11.4.24.png)
+
+Рассмотрим момент времени, когда ток в цепи максимален и равен $I_1$. В этот момент энергия есть в катушке
+
+$$
+W_L1=\frac{LI_1^2}{2}.
+$$
+
+Но также в этот момент оказывается есть энергия в конденсаторе. Из-за того, что производная тока в этот момент равна нулю то напряжение на катушке равно нулю. Но тогда из второго правила Кирхгофа напряжение на резисторе $I_1R$ равно напряжению на конденсаторе $U_C1$:
+
+$$
+I_1R=U_C1.
+$$
+
+Отсюда энергия конденсатора
+
+$$
+W_C1=\frac{C\left(I_1R\right)^2}{2}.
+$$
+
+Суммарная энергия контура
+
+$$
+W_1=W_L1+W_C1.
+$$
+
+Аналогичные рассуждения можно сделать для второго момента времени с максимумом тока $I_2$.
+
+В итоге получится ответ. Тепло равно разности энергий контура
+
+$$
+Q=W_1-W_2=\frac{1}{2}\left(CR^2+L\right)\left(I_1^2-I_2^2\right).
+$$
+
+
+#### Литература
+
+[1] Сивухин Д. В. Электричество //Сер." Общий курс физики. – 1983. – Т. 3. Глава «Колебания и волны».
+
+[2] [Уравнение гармонического осциллятора с затуханием](https://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0203.pdf). https://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm.
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+Q=W_1-W_2=\frac{1}{2}\left(CR^2+L\right)\left(I_1^2-I_2^2\right).
+$$