Edits to “Условие”, “Решение”

igor edited Jun 15, 2026, 7:09 AM

View solution History

revision #18806 parent #18805 ← older newer →

ru/11.4.24.md +8 −8

		@@ -1,6 +1,6 @@
			### Условие

		−	$11.4.24.$ В колебательном контуре, состоящем из последовательно соединенных сопротивления $R$, катушки индуктивности $L$ и конденсатора емкости $C$, происходят затухающие колебания. За некоторое время амплитуда тока в контуре уменьшилась от значения $I_1$ до значения $I_2$. Какое количество теплоты выделилось за это время на сопротивлении?
		+	$11.4.24^*.$ В колебательном контуре, состоящем из последовательно соединенных сопротивления $R$, катушки индуктивности $L$ и конденсатора емкости $C$, происходят затухающие колебания. За некоторое время амплитуда тока в контуре уменьшилась от значения $I_1$ до значения $I_2$. Какое количество теплоты выделилось за это время на сопротивлении?


			### Решение

			Если представить, что в процессе затухающих колебаний амплитуда меняется медленно, то можно решить задачу, используя сведения из теории идеального колебательного контура, в котором колебания не прекращаются.

			Если говорить подробнее, то из второго правила Кирхгофа для цепи $RLC$

			$$
			iR+L\frac{di}{dt}+U_C=0,
			$$

			где $i$ есть ток в контуре, $U_C$ есть напряжение на конденсаторе в контуре ($i$ и $U_C$ зависят от времени),

			можно получить диффур [1]

			$$
			\frac{d^2q}{dt^2}+2\gamma\frac{dq}{dt}+\omega_0^2q=0,
			$$
		@@ -23,40 +23,40 @@Решение

			где $q$ есть заряд конденсатора, $\gamma=R/(2L)$ есть коэффициент затухания, $\omega_0^2=1/(LC)$ есть собственная частота колебательной системы.

		−	Этот диффур в общем имеет разные решения [1], но только одно из них имеет вид колебаний, как и говорится в задаче, а именно решение:
		+	Этот диффур в общем имеет разные решения [1, 2], но только одно из них имеет вид колебаний, как и говорится в задаче, а именно решение:

			$$
			q=ae^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\delta\right),
			$$

			где $a$ и $\delta$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояний системы, в которых про эту систему что-то известно; $\omega^2=\omega_0^2-\gamma^2$.

		−	Итак, в нашей задаче и заряд и ток меняются как затузающий синус (см. рисунок далее).
		+	Итак, в нашей задаче и заряд и ток меняются как затухающий синус (см. рисунок далее).

			![\|965x837, 100%](../../img/11.4.24/11.4.24.png)

			Рассмотрим момент времени, когда ток в цепи максимален и равен $I_1$. В этот момент энергия есть в катушке

			$$
		−	W_L1=\frac{LI_1^2}{2}.
		+	W_{L1}=\frac{LI_1^2}{2}.
			$$

		−	Но также в этот момент оказывается есть энергия в конденсаторе. Из-за того, что производная тока в этот момент равна нулю то напряжение на катушке равно нулю. Но тогда из второго правила Кирхгофа напряжение на резисторе $I_1R$ равно напряжению на конденсаторе $U_C1$:
		+	Но также в этот момент оказывается есть энергия в конденсаторе. Из-за того, что производная тока в этот момент равна нулю то напряжение на катушке равно нулю. Но тогда из второго правила Кирхгофа напряжение на резисторе $I_1R$ равно напряжению на конденсаторе $U_{C1}$:

			$$
		−	I_1R=U_C1.
		+	I_1R=U_{C1}.
			$$

			Отсюда энергия конденсатора

			$$
		−	W_C1=\frac{C\left(I_1R\right)^2}{2}.
		+	W_{C1}=\frac{C\left(I_1R\right)^2}{2}.
			$$

			Суммарная энергия контура

			$$
		−	W_1=W_L1+W_C1.
		+	W_1=W_{L1}+W_{C1}.
			$$

			Аналогичные рассуждения можно сделать для второго момента времени с максимумом тока $I_2$.

			В итоге получится ответ. Тепло равно разности энергий контура

			$$
			Q=W_1-W_2=\frac{1}{2}\left(CR^2+L\right)\left(I_1^2-I_2^2\right).
			$$


			#### Литература

			[1] Сивухин Д. В. Электричество //Сер." Общий курс физики. – 1983. – Т. 3. Глава «Колебания и волны».

			[2] [Уравнение гармонического осциллятора с затуханием](https://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0203.pdf). https://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm.


			#### Ответ

			$$
			Q=W_1-W_2=\frac{1}{2}\left(CR^2+L\right)\left(I_1^2-I_2^2\right).
			$$
		unchanged lines 20

	@@ -1,6 +1,6 @@
	### Условие		### Условие

	$11.4.24.$ В колебательном контуре, состоящем из последовательно соединенных сопротивления $R$, катушки индуктивности $L$ и конденсатора емкости $C$, происходят затухающие колебания. За некоторое время амплитуда тока в контуре уменьшилась от значения $I_1$ до значения $I_2$. Какое количество теплоты выделилось за это время на сопротивлении?		$11.4.24^*.$ В колебательном контуре, состоящем из последовательно соединенных сопротивления $R$, катушки индуктивности $L$ и конденсатора емкости $C$, происходят затухающие колебания. За некоторое время амплитуда тока в контуре уменьшилась от значения $I_1$ до значения $I_2$. Какое количество теплоты выделилось за это время на сопротивлении?


	### Решение		### Решение

	Если представить, что в процессе затухающих колебаний амплитуда меняется медленно, то можно решить задачу, используя сведения из теории идеального колебательного контура, в котором колебания не прекращаются.		Если представить, что в процессе затухающих колебаний амплитуда меняется медленно, то можно решить задачу, используя сведения из теории идеального колебательного контура, в котором колебания не прекращаются.

	Если говорить подробнее, то из второго правила Кирхгофа для цепи $RLC$		Если говорить подробнее, то из второго правила Кирхгофа для цепи $RLC$

	$$		$$
	iR+L\frac{di}{dt}+U_C=0,		iR+L\frac{di}{dt}+U_C=0,
	$$		$$

	где $i$ есть ток в контуре, $U_C$ есть напряжение на конденсаторе в контуре ($i$ и $U_C$ зависят от времени),		где $i$ есть ток в контуре, $U_C$ есть напряжение на конденсаторе в контуре ($i$ и $U_C$ зависят от времени),

	можно получить диффур [1]		можно получить диффур [1]

	$$		$$
	\frac{d^2q}{dt^2}+2\gamma\frac{dq}{dt}+\omega_0^2q=0,		\frac{d^2q}{dt^2}+2\gamma\frac{dq}{dt}+\omega_0^2q=0,
	$$		$$
	@@ -23,40 +23,40 @@Решение

	где $q$ есть заряд конденсатора, $\gamma=R/(2L)$ есть коэффициент затухания, $\omega_0^2=1/(LC)$ есть собственная частота колебательной системы.		где $q$ есть заряд конденсатора, $\gamma=R/(2L)$ есть коэффициент затухания, $\omega_0^2=1/(LC)$ есть собственная частота колебательной системы.

	Этот диффур в общем имеет разные решения [1], но только одно из них имеет вид колебаний, как и говорится в задаче, а именно решение:		Этот диффур в общем имеет разные решения [1, 2], но только одно из них имеет вид колебаний, как и говорится в задаче, а именно решение:

	$$		$$
	q=ae^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\delta\right),		q=ae^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\delta\right),
	$$		$$

	где $a$ и $\delta$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояний системы, в которых про эту систему что-то известно; $\omega^2=\omega_0^2-\gamma^2$.		где $a$ и $\delta$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояний системы, в которых про эту систему что-то известно; $\omega^2=\omega_0^2-\gamma^2$.

	Итак, в нашей задаче и заряд и ток меняются как затузающий синус (см. рисунок далее).		Итак, в нашей задаче и заряд и ток меняются как затухающий синус (см. рисунок далее).

	![\|965x837, 100%](../../img/11.4.24/11.4.24.png)		![\|965x837, 100%](../../img/11.4.24/11.4.24.png)

	Рассмотрим момент времени, когда ток в цепи максимален и равен $I_1$. В этот момент энергия есть в катушке		Рассмотрим момент времени, когда ток в цепи максимален и равен $I_1$. В этот момент энергия есть в катушке

	$$		$$
	W_L1=\frac{LI_1^2}{2}.		W_{L1}=\frac{LI_1^2}{2}.
	$$		$$

	Но также в этот момент оказывается есть энергия в конденсаторе. Из-за того, что производная тока в этот момент равна нулю то напряжение на катушке равно нулю. Но тогда из второго правила Кирхгофа напряжение на резисторе $I_1R$ равно напряжению на конденсаторе $U_C1$:		Но также в этот момент оказывается есть энергия в конденсаторе. Из-за того, что производная тока в этот момент равна нулю то напряжение на катушке равно нулю. Но тогда из второго правила Кирхгофа напряжение на резисторе $I_1R$ равно напряжению на конденсаторе $U_{C1}$:

	$$		$$
	I_1R=U_C1.		I_1R=U_{C1}.
	$$		$$

	Отсюда энергия конденсатора		Отсюда энергия конденсатора

	$$		$$
	W_C1=\frac{C\left(I_1R\right)^2}{2}.		W_{C1}=\frac{C\left(I_1R\right)^2}{2}.
	$$		$$

	Суммарная энергия контура		Суммарная энергия контура

	$$		$$
	W_1=W_L1+W_C1.		W_1=W_{L1}+W_{C1}.
	$$		$$

	Аналогичные рассуждения можно сделать для второго момента времени с максимумом тока $I_2$.		Аналогичные рассуждения можно сделать для второго момента времени с максимумом тока $I_2$.

	В итоге получится ответ. Тепло равно разности энергий контура		В итоге получится ответ. Тепло равно разности энергий контура

	$$		$$
	Q=W_1-W_2=\frac{1}{2}\left(CR^2+L\right)\left(I_1^2-I_2^2\right).		Q=W_1-W_2=\frac{1}{2}\left(CR^2+L\right)\left(I_1^2-I_2^2\right).
	$$		$$


	#### Литература		#### Литература

	[1] Сивухин Д. В. Электричество //Сер." Общий курс физики. – 1983. – Т. 3. Глава «Колебания и волны».		[1] Сивухин Д. В. Электричество //Сер." Общий курс физики. – 1983. – Т. 3. Глава «Колебания и волны».

	[2] [Уравнение гармонического осциллятора с затуханием](https://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0203.pdf). https://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm.		[2] [Уравнение гармонического осциллятора с затуханием](https://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0203.pdf). https://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm.


	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	Q=W_1-W_2=\frac{1}{2}\left(CR^2+L\right)\left(I_1^2-I_2^2\right).		Q=W_1-W_2=\frac{1}{2}\left(CR^2+L\right)\left(I_1^2-I_2^2\right).
	$$		$$
	unchanged lines 20