Edits to “Условие”, “Решение”, “Максимальный ток”

igor edited
View solution History
revision #18829 parent #18828 ← older newer →
ru/11.4.9.md +97 −3
@@ -1,11 +1,105 @@
### Условие
−$11.4.9.$ [Вставьте условие задачи]
+$11.4.9.$ Источник с ЭДС $\mathscr E$ и нулевым внутренним сопротивлением в момент времени $t = 0$ подключают к последовательно соединенным катушке индуктивности $L$ и конденсатору емкости $C$. Найдите максимальный ток в цепи и максимальный заряд конденсатора.
+
### Решение
−11
+#### Максимальный ток
+
+
+Из второго правила Кирхгофа
+
+$$
+L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=\mathscr E,\tag{1}
+$$
+
+где $i$ есть ток в цепи, $q$ есть заряд конденсатора.
+
+Продифференцируем $(1)$ по $t$ и поделим на $L$:
+
+$$
+\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{1}{LC}i=0,
+$$
+
+что есть уравнение гармонических колебаний $\ddot x+\omega^2x=0$.
+
+Общее решение
+
+$$
+i=A\cos\omega t+B\sin\omega t,\tag{2}
+$$
+
+где $A$ и $B$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояния с известными данными, $\omega^2=\frac{1}{LC}$.
+
+При $t=0$ имеем $i=0$, значит, из $(2)$ получается $A=0$.
+
+Для тока остается
+
+$$
+i=B\sin\omega t.
+$$
+
+Еще при $t=0$ известно $q=0$. Тогда идем в $(1)$ с учетом этого в момент $t=0$:
+
+$$
+L\left.\frac{di}{dt}\right|_0=\mathscr E
+$$
+
+где $\left.\frac{di}{dt}\right|_0$ есть значение производной тока в момент $t=0$. Что дает после подстановки предыдущего
+
+$$
+B=\frac{\mathscr E}{L\omega}.
+$$
+
+Итак, закон тока
+
+$$
+i=\frac{\mathscr E}{L\omega}\sin\omega t
+$$
+
+и максимальный ток
+
+$$
+\boxed{I_\text{m}=\frac{\mathscr E}{L\omega}=\mathscr E\sqrt{C/L}.}
+$$
+
+
+#### Максимальный заряд
+
+
+Из определения тока заряд
+
+$$
+q=\int i\,dt.
+$$
+
+Подставляем $i(t)$ и интегрируем
+
+$$
+q=-\frac{\mathscr E}{L\omega^2}\cos\omega t+D,
+$$
+
+где $D$ есть постоянная интегрирования.
+
+При $t=0$ имеем $q=0$, значит, $D=\frac{\mathscr E}{L\omega^2}$.
+
+Итог для заряда
+
+$$
+q=\frac{\mathscr E}{L\omega^2}\left(1-\cos\omega t\right).
+$$
+
+Максимальный заряд при максимуме $2$, достигаемого выражением в скобках:
+
+$$
+\boxed{q_\text{m}=2\frac{\mathscr E}{L\omega^2}=2\mathscr EС.}
+$$
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+I_\text{m}=\frac{\mathscr E}{L\omega}=\mathscr E\sqrt{C/L},\quad q_\text{m}=2\frac{\mathscr E}{L\omega^2}=2\mathscr EС.
+$$