Edit to “Литература”

igor edited Jun 15, 2026, 5:02 PM

View solution History

revision #18830 parent #18829 ← older

ru/11.4.9.md +7 −0

			### Условие

			$11.4.9.$ Источник с ЭДС $\mathscr E$ и нулевым внутренним сопротивлением в момент времени $t = 0$ подключают к последовательно соединенным катушке индуктивности $L$ и конденсатору емкости $C$. Найдите максимальный ток в цепи и максимальный заряд конденсатора.


			### Решение


			#### Максимальный ток


			Из второго правила Кирхгофа

			$$
			L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=\mathscr E,\tag{1}
			$$

			где $i$ есть ток в цепи, $q$ есть заряд конденсатора.

			Продифференцируем $(1)$ по $t$ и поделим на $L$:

			$$
			\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{1}{LC}i=0,
			$$

			что есть уравнение гармонических колебаний $\ddot x+\omega^2x=0$.

			Общее решение

			$$
			i=A\cos\omega t+B\sin\omega t,\tag{2}
			$$

			где $A$ и $B$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояния с известными данными, $\omega^2=\frac{1}{LC}$.

			При $t=0$ имеем $i=0$, значит, из $(2)$ получается $A=0$.

			Для тока остается

			$$
			i=B\sin\omega t.
			$$

			Еще при $t=0$ известно $q=0$. Тогда идем в $(1)$ с учетом этого в момент $t=0$:

			$$
			L\left.\frac{di}{dt}\right\|_0=\mathscr E
			$$

			где $\left.\frac{di}{dt}\right\|_0$ есть значение производной тока в момент $t=0$. Что дает после подстановки предыдущего

			$$
			B=\frac{\mathscr E}{L\omega}.
			$$

			Итак, закон тока

			$$
			i=\frac{\mathscr E}{L\omega}\sin\omega t
			$$

			и максимальный ток

			$$
			\boxed{I_\text{m}=\frac{\mathscr E}{L\omega}=\mathscr E\sqrt{C/L}.}
			$$


			#### Максимальный заряд


			Из определения тока заряд

			$$
			q=\int i\,dt.
			$$

			Подставляем $i(t)$ и интегрируем

			$$
			q=-\frac{\mathscr E}{L\omega^2}\cos\omega t+D,
			$$

			где $D$ есть постоянная интегрирования.

			При $t=0$ имеем $q=0$, значит, $D=\frac{\mathscr E}{L\omega^2}$.

			Итог для заряда

			$$
			q=\frac{\mathscr E}{L\omega^2}\left(1-\cos\omega t\right).
			$$

			Максимальный заряд при максимуме $2$, достигаемого выражением в скобках:

			$$
			\boxed{q_\text{m}=2\frac{\mathscr E}{L\omega^2}=2\mathscr EС.}
		@@ -98,8 +98,15 @@Максимальный заряд
			$$


		+	#### Литература
		+
		+	[1] И. Яковлев. Дифференциальные уравнения. Материалы по физике. mathus.ru.
		+
		+	[2] Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников. ИТФ Ландау. 1982.
		+
		+
			#### Ответ

			$$
			I_\text{m}=\frac{\mathscr E}{L\omega}=\mathscr E\sqrt{C/L},\quad q_\text{m}=2\frac{\mathscr E}{L\omega^2}=2\mathscr EС.
			$$

	### Условие		### Условие

	$11.4.9.$ Источник с ЭДС $\mathscr E$ и нулевым внутренним сопротивлением в момент времени $t = 0$ подключают к последовательно соединенным катушке индуктивности $L$ и конденсатору емкости $C$. Найдите максимальный ток в цепи и максимальный заряд конденсатора.		$11.4.9.$ Источник с ЭДС $\mathscr E$ и нулевым внутренним сопротивлением в момент времени $t = 0$ подключают к последовательно соединенным катушке индуктивности $L$ и конденсатору емкости $C$. Найдите максимальный ток в цепи и максимальный заряд конденсатора.


	### Решение		### Решение


	#### Максимальный ток		#### Максимальный ток


	Из второго правила Кирхгофа		Из второго правила Кирхгофа

	$$		$$
	L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=\mathscr E,\tag{1}		L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=\mathscr E,\tag{1}
	$$		$$

	где $i$ есть ток в цепи, $q$ есть заряд конденсатора.		где $i$ есть ток в цепи, $q$ есть заряд конденсатора.

	Продифференцируем $(1)$ по $t$ и поделим на $L$:		Продифференцируем $(1)$ по $t$ и поделим на $L$:

	$$		$$
	\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{1}{LC}i=0,		\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{1}{LC}i=0,
	$$		$$

	что есть уравнение гармонических колебаний $\ddot x+\omega^2x=0$.		что есть уравнение гармонических колебаний $\ddot x+\omega^2x=0$.

	Общее решение		Общее решение

	$$		$$
	i=A\cos\omega t+B\sin\omega t,\tag{2}		i=A\cos\omega t+B\sin\omega t,\tag{2}
	$$		$$

	где $A$ и $B$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояния с известными данными, $\omega^2=\frac{1}{LC}$.		где $A$ и $B$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояния с известными данными, $\omega^2=\frac{1}{LC}$.

	При $t=0$ имеем $i=0$, значит, из $(2)$ получается $A=0$.		При $t=0$ имеем $i=0$, значит, из $(2)$ получается $A=0$.

	Для тока остается		Для тока остается

	$$		$$
	i=B\sin\omega t.		i=B\sin\omega t.
	$$		$$

	Еще при $t=0$ известно $q=0$. Тогда идем в $(1)$ с учетом этого в момент $t=0$:		Еще при $t=0$ известно $q=0$. Тогда идем в $(1)$ с учетом этого в момент $t=0$:

	$$		$$
	L\left.\frac{di}{dt}\right\|_0=\mathscr E		L\left.\frac{di}{dt}\right\|_0=\mathscr E
	$$		$$

	где $\left.\frac{di}{dt}\right\|_0$ есть значение производной тока в момент $t=0$. Что дает после подстановки предыдущего		где $\left.\frac{di}{dt}\right\|_0$ есть значение производной тока в момент $t=0$. Что дает после подстановки предыдущего

	$$		$$
	B=\frac{\mathscr E}{L\omega}.		B=\frac{\mathscr E}{L\omega}.
	$$		$$

	Итак, закон тока		Итак, закон тока

	$$		$$
	i=\frac{\mathscr E}{L\omega}\sin\omega t		i=\frac{\mathscr E}{L\omega}\sin\omega t
	$$		$$

	и максимальный ток		и максимальный ток

	$$		$$
	\boxed{I_\text{m}=\frac{\mathscr E}{L\omega}=\mathscr E\sqrt{C/L}.}		\boxed{I_\text{m}=\frac{\mathscr E}{L\omega}=\mathscr E\sqrt{C/L}.}
	$$		$$


	#### Максимальный заряд		#### Максимальный заряд


	Из определения тока заряд		Из определения тока заряд

	$$		$$
	q=\int i\,dt.		q=\int i\,dt.
	$$		$$

	Подставляем $i(t)$ и интегрируем		Подставляем $i(t)$ и интегрируем

	$$		$$
	q=-\frac{\mathscr E}{L\omega^2}\cos\omega t+D,		q=-\frac{\mathscr E}{L\omega^2}\cos\omega t+D,
	$$		$$

	где $D$ есть постоянная интегрирования.		где $D$ есть постоянная интегрирования.

	При $t=0$ имеем $q=0$, значит, $D=\frac{\mathscr E}{L\omega^2}$.		При $t=0$ имеем $q=0$, значит, $D=\frac{\mathscr E}{L\omega^2}$.

	Итог для заряда		Итог для заряда

	$$		$$
	q=\frac{\mathscr E}{L\omega^2}\left(1-\cos\omega t\right).		q=\frac{\mathscr E}{L\omega^2}\left(1-\cos\omega t\right).
	$$		$$

	Максимальный заряд при максимуме $2$, достигаемого выражением в скобках:		Максимальный заряд при максимуме $2$, достигаемого выражением в скобках:

	$$		$$
	\boxed{q_\text{m}=2\frac{\mathscr E}{L\omega^2}=2\mathscr EС.}		\boxed{q_\text{m}=2\frac{\mathscr E}{L\omega^2}=2\mathscr EС.}
	@@ -98,8 +98,15 @@Максимальный заряд
	$$		$$


			#### Литература

			[1] И. Яковлев. Дифференциальные уравнения. Материалы по физике. mathus.ru.

			[2] Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников. ИТФ Ландау. 1982.


	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	I_\text{m}=\frac{\mathscr E}{L\omega}=\mathscr E\sqrt{C/L},\quad q_\text{m}=2\frac{\mathscr E}{L\omega^2}=2\mathscr EС.		I_\text{m}=\frac{\mathscr E}{L\omega}=\mathscr E\sqrt{C/L},\quad q_\text{m}=2\frac{\mathscr E}{L\omega^2}=2\mathscr EС.
	$$		$$