Edit to “Решение”

jzmicer edited Jun 20, 2026, 6:31 PM

View solution History

revision #19052 parent #19051 ← older

ru/7.4.16.md +8 −1


			### Условие
			$7.4.16.$ Возможен ли безызлучательный захват свободным протоном электрона (образование атома водорода)?

			### Решение

			В системе центра масс суммарный импульс частиц до захвата равен нулю, энергия взаимодействия частиц равна 0, они могут иметь некоторые кинетические энергии:

			$$
			E_{1} = (M+m)c^2 + E_{k}, \quad E_{\text{кин}} \ge 0.
			$$
			После захвата согласно ЗСИ суммарный импульс должен остаться нулевым. Если это происходит без излучения, то в итоге имеем одну частицу, и она не может иметь кинетической энергии. Зато атом водорода приобретает отрицательную электростатическую энергию связи:
			$$
			E_{2} = (M+m)c^2 + E_b, \quad E_b<0.
			$$
			Докажем, что эта энергия именно отрицательна.
			Рассмортим круговое вращение электрона вокруг протона, запишем $II$ закон Ньютона:
			$$
			\frac{m_e v^2}{r} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}
			\quad\Longrightarrow\quad
			m_e v^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}.
			$$

			Кинетическая энергия:
			$$
			K = \frac{m_e v^2}{2} = \frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}.
			$$

			Потенциальная энергия:
			$$
			U = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}.
			$$

			Полная энергия:
			$$
			E_b = K + U = \frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}
			= -\frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} < 0.
			$$

		@@ -40,7 +40,14 @@Решение



		−	~~Что и требовалось. В~~ернёмся к основной задаче, из ЗСЭ:
		+	Что и требовалось. Отмечу: тут я объяснил именно знак энергии, а не нашёл её точное значение. Чтобы не загромождать вывод, сделаны приближения:
		+	- $m_p\gg m_e$, поэтому вместо вращения двух частиц вокруг ЦМ рассмотрено вращение электрона вокруг протона
		+	- орбита считается круговой, а не эллиптической
		+	- не обращалось внимание на гипотезу Бора о квантовании момента импульса
		+
		+	Если устранить эти приближения, можно показать, что приблизительно $E_b\in[-13.6 ; 0) \ эВ$
		+
		+	Но вернёмся к основной задаче, из ЗСЭ:
			$$
			E_{k} = E_b < 0
			$$
			Противоречие. Значит, безызлучательный захват невозможен. Часть этой энергии обязательно должен унести фотон.



			#### Ответ
			$$
			\boxed{Невозможен}
			$$
		unchanged lines 8


	### Условие		### Условие
	$7.4.16.$ Возможен ли безызлучательный захват свободным протоном электрона (образование атома водорода)?		$7.4.16.$ Возможен ли безызлучательный захват свободным протоном электрона (образование атома водорода)?

	### Решение		### Решение

	В системе центра масс суммарный импульс частиц до захвата равен нулю, энергия взаимодействия частиц равна 0, они могут иметь некоторые кинетические энергии:		В системе центра масс суммарный импульс частиц до захвата равен нулю, энергия взаимодействия частиц равна 0, они могут иметь некоторые кинетические энергии:

	$$		$$
	E_{1} = (M+m)c^2 + E_{k}, \quad E_{\text{кин}} \ge 0.		E_{1} = (M+m)c^2 + E_{k}, \quad E_{\text{кин}} \ge 0.
	$$		$$
	После захвата согласно ЗСИ суммарный импульс должен остаться нулевым. Если это происходит без излучения, то в итоге имеем одну частицу, и она не может иметь кинетической энергии. Зато атом водорода приобретает отрицательную электростатическую энергию связи:		После захвата согласно ЗСИ суммарный импульс должен остаться нулевым. Если это происходит без излучения, то в итоге имеем одну частицу, и она не может иметь кинетической энергии. Зато атом водорода приобретает отрицательную электростатическую энергию связи:
	$$		$$
	E_{2} = (M+m)c^2 + E_b, \quad E_b<0.		E_{2} = (M+m)c^2 + E_b, \quad E_b<0.
	$$		$$
	Докажем, что эта энергия именно отрицательна.		Докажем, что эта энергия именно отрицательна.
	Рассмортим круговое вращение электрона вокруг протона, запишем $II$ закон Ньютона:		Рассмортим круговое вращение электрона вокруг протона, запишем $II$ закон Ньютона:
	$$		$$
	\frac{m_e v^2}{r} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}		\frac{m_e v^2}{r} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}
	\quad\Longrightarrow\quad		\quad\Longrightarrow\quad
	m_e v^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}.		m_e v^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}.
	$$		$$

	Кинетическая энергия:		Кинетическая энергия:
	$$		$$
	K = \frac{m_e v^2}{2} = \frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}.		K = \frac{m_e v^2}{2} = \frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}.
	$$		$$

	Потенциальная энергия:		Потенциальная энергия:
	$$		$$
	U = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}.		U = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}.
	$$		$$

	Полная энергия:		Полная энергия:
	$$		$$
	E_b = K + U = \frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}		E_b = K + U = \frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}
	= -\frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} < 0.		= -\frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} < 0.
	$$		$$

	@@ -40,7 +40,14 @@Решение



	~~Что и требовалось. В~~ернёмся к основной задаче, из ЗСЭ:		Что и требовалось. Отмечу: тут я объяснил именно знак энергии, а не нашёл её точное значение. Чтобы не загромождать вывод, сделаны приближения:
			- $m_p\gg m_e$, поэтому вместо вращения двух частиц вокруг ЦМ рассмотрено вращение электрона вокруг протона
			- орбита считается круговой, а не эллиптической
			- не обращалось внимание на гипотезу Бора о квантовании момента импульса

			Если устранить эти приближения, можно показать, что приблизительно $E_b\in[-13.6 ; 0) \ эВ$

			Но вернёмся к основной задаче, из ЗСЭ:
	$$		$$
	E_{k} = E_b < 0		E_{k} = E_b < 0
	$$		$$
	Противоречие. Значит, безызлучательный захват невозможен. Часть этой энергии обязательно должен унести фотон.		Противоречие. Значит, безызлучательный захват невозможен. Часть этой энергии обязательно должен унести фотон.



	#### Ответ		#### Ответ
	$$		$$
	\boxed{Невозможен}		\boxed{Невозможен}
	$$		$$
	unchanged lines 8