Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/7.3.13.md
+33 −5
| @@ -1,11 +1,39 @@ | |||
| − | ### Условие | ||
| − | |||
| + | ### Условие | ||
| + | $7.3.11.$ На свободный электрон начиная с момента времени $t = 0$ действует электрическое поле напряженности $E = E_0 \sin (\omega t + \varphi)$. Найдите максимальную и среднюю скорость электрона. | ||
| ### Решение | |||
| + | Начальная скорость равна 0, поэтому | ||
| + | $$ | ||
| + | v=\int_0^t a dt\tag{1} | ||
| + | $$ | ||
| + | $II$ закон Ньютона: | ||
| + | $$ | ||
| + | F=-Ee=am_e \tag{2} | ||
| + | $$ | ||
| + | Сделаем замену $a_0=\frac{eE_0}{m_e}$, $(2)\to(1)$ | ||
| + | $$ | ||
| + | v(t)=-a_0\int_0^t \sin (\omega t + \varphi) dt=\frac{eE_0}{m_e\omega} \left(\cos (\omega t + \varphi)-\cos \varphi\right)\tag{3} | ||
| + | $$ | ||
| + | Учитывая множество значения косинуса, выражение в скобках может принимать значения $[-1-\cos \varphi;1-\cos \varphi]$. Тут надо быть аккуратным: помнить, что нам надо максимальный модуль скорости, и что $\cos \varphi$ может быть как положительным, так и отрицательным. В итоге, анализируя $(3)$, получим | ||
| + | $$ | ||
| + | v_{max}=\frac{eE_0}{m_e\omega}(1+|\cos\varphi|) | ||
| + | $$ | ||
| + | Понятно, что скорость меняется периодично с периодом $T=\frac{2\pi}{\omega}$. Тогда среднее значение | ||
| + | $$ | ||
| + | \bar{v}=\frac{1}{T}\int_0^Tv(t)dt\tag{4} | ||
| + | $$ | ||
| + | Позволю себе пропустить вычисление интеграла - помня, что интеграл от косинуса по его периоду равен $0$, это можно сделать очень быстро. В итоге получим, беря по модулю: | ||
| + | $$ | ||
| + | \bar{v}=\frac{2eE_0}{m_e\omega}\cos\varphi | ||
| + | $$ | ||
| − | 1 | ||
| + | В авторском ответе опечатка | ||
| #### Ответ | |||
| − | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $$ | ||
| + | v_{max}=\frac{eE_0}{m_e\omega}(1+|\cos\varphi|) | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | \bar{v}=\frac{2eE_0}{m_e\omega}\cos\varphi | ||
| + | $$ | ||
| @@ -1,11 +1,39 @@ | |||
| ### Условие | |||
| ### Условие | |||
| $7.3.11.$ На свободный электрон начиная с момента времени $t = 0$ действует электрическое поле напряженности $E = E_0 \sin (\omega t + \varphi)$. Найдите максимальную и среднюю скорость электрона. | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Начальная скорость равна 0, поэтому | |||
| $$ | |||
| v=\int_0^t a dt\tag{1} | |||
| $$ | |||
| $II$ закон Ньютона: | |||
| $$ | |||
| F=-Ee=am_e \tag{2} | |||
| $$ | |||
| Сделаем замену $a_0=\frac{eE_0}{m_e}$, $(2)\to(1)$ | |||
| $$ | |||
| v(t)=-a_0\int_0^t \sin (\omega t + \varphi) dt=\frac{eE_0}{m_e\omega} \left(\cos (\omega t + \varphi)-\cos \varphi\right)\tag{3} | |||
| $$ | |||
| Учитывая множество значения косинуса, выражение в скобках может принимать значения $[-1-\cos \varphi;1-\cos \varphi]$. Тут надо быть аккуратным: помнить, что нам надо максимальный модуль скорости, и что $\cos \varphi$ может быть как положительным, так и отрицательным. В итоге, анализируя $(3)$, получим | |||
| $$ | |||
| v_{max}=\frac{eE_0}{m_e\omega}(1+|\cos\varphi|) | |||
| $$ | |||
| Понятно, что скорость меняется периодично с периодом $T=\frac{2\pi}{\omega}$. Тогда среднее значение | |||
| $$ | |||
| \bar{v}=\frac{1}{T}\int_0^Tv(t)dt\tag{4} | |||
| $$ | |||
| Позволю себе пропустить вычисление интеграла - помня, что интеграл от косинуса по его периоду равен $0$, это можно сделать очень быстро. В итоге получим, беря по модулю: | |||
| $$ | |||
| \bar{v}=\frac{2eE_0}{m_e\omega}\cos\varphi | |||
| $$ | |||
| 1 | В авторском ответе опечатка | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | v_{max}=\frac{eE_0}{m_e\omega}(1+|\cos\varphi|) | ||
| $$ | |||
| $$ | |||
| \bar{v}=\frac{2eE_0}{m_e\omega}\cos\varphi | |||
| $$ | |||