| @@ -1,39 +1,39 @@ |
| | − | ## Перепутал номер задачи с 7.3.11, завтра допишу и эту |
| | − | ### Условие |
| | − | $7.3.11.$ На свободный электрон начиная с момента времени $t = 0$ действует электрическое поле напряженности $E = E_0 \sin (\omega t + \varphi)$. Найдите максимальную и среднюю скорость электрона. |
| | | |
| | + | ### Условие |
| | + | $7.3.13^∗$ . Разреженная плазма в высокочастотном электрическом поле напряженности $E = E_0 \sin \omega t$ приобретает положительный потенциал. Определите этот потенциал, если масса ионов $M \gg m_e$. |
| | + | |
| | | ### Решение |
| | − | Начальная скорость равна 0, поэтому |
| | + | |
| | + | Поскольку масса ионов значительно больше массы электронов, ионы за период высокочастотного поля практически не успевают сдвинуться с места. |
| | + | |
| | + | Электроны, напротив, легко увлекаются полем и совершают вынужденные колебания вокруг ионов. Однако на границах плазмы эти колебания приводят к тому, что разогнанные электроны могут покинуть объём. В результате в объеме плазмы возникает избыточный положительный заряд (ионы остаются, часть электронов ушла). |
| | + | |
| | + | Этот положительный заряд создает запирающее электрическое поле. Плазма самозаряжается до тех пор, пока этот потенциальный барьер не перестанет пропускать наиболее быстрые электроны наружу. |
| | + | |
| | + | Из решения задачи [7.3.11](https://savchenkosolutions.com/ru/7.3.11) можно получить выражение для максимальной скорости электронов: |
| | | $$ |
| | − | v=\int_0^t a dt\tag{1} |
| | + | v_{max}=\frac{2eE_0}{m_e\omega}\tag{1} |
| | | $$ |
| | − | $II$ закон Ньютона: |
| | + | Условие прекращения утечки электронов: |
| | | $$ |
| | − | F=-Ee=am_e \tag{2} |
| | + | W=e\varphi=\frac{1}{2}m_ev_{max}^2\tag{2} |
| | | $$ |
| | − | Сделаем замену $a_0=\frac{eE_0}{m_e}$, $(2)\to(1)$ |
| | | $$ |
| | − | v(t)=-a_0\int_0^t \sin (\omega t + \varphi) dt=\frac{eE_0}{m_e\omega} \left(\cos (\omega t + \varphi)-\cos \varphi\right)\tag{3} |
| | + | \varphi=\frac{2e}{m_e}\left(\frac{E_0}{\omega}\right)^2\tag{3} |
| | | $$ |
| | − | Учитывая множество значения косинуса, выражение в скобках может принимать значения $[-1-\cos \varphi;1-\cos \varphi]$. Тут надо быть аккуратным: помнить, что нам надо максимальный модуль скорости, и что $\cos \varphi$ может быть как положительным, так и отрицательным. В итоге, анализируя $(3)$, получим |
| | + | |
| | + | Важно: тут подразумевается, что как и в [7.3.11](https://savchenkosolutions.com/ru/7.3.11), изначально все электроны покоятся и поле включают мгновенно. Если рассматривать некий устоявшийся режим, максимальная скорость будет определятся просто амплитудой колебаний: |
| | | $$ |
| | − | v_{max}=\frac{eE_0}{m_e\omega}(1+|\cos\varphi|) |
| | + | v_{max}=\frac{eE_0}{m_e\omega}\tag{4} |
| | | $$ |
| | − | Понятно, что скорость меняется периодично с периодом $T=\frac{2\pi}{\omega}$. Тогда среднее значение |
| | + | и ответ будет |
| | | $$ |
| | − | \bar{v}=\frac{1}{T}\int_0^Tv(t)dt\tag{4} |
| | + | \varphi=\frac{e}{2m_e}\left(\frac{E_0}{\omega}\right)^2\tag{5} |
| | | $$ |
| | − | Позволю себе пропустить вычисление интеграла - помня, что интеграл от косинуса по его периоду равен $0$, это можно сделать очень быстро. В итоге получим, беря по модулю: |
| | − | $$ |
| | − | \bar{v}=\frac{2eE_0}{m_e\omega}\cos\varphi |
| | − | $$ |
| | | |
| | − | В авторском ответе опечатка |
| | − | |
| | + | В авторском ответе в любом случае опечатка, но он более похож на $3$ |
| | | #### Ответ |
| | + | |
| | | $$ |
| | − | v_{max}=\frac{eE_0}{m_e\omega}(1+|\cos\varphi|) |
| | − | $$ |
| | − | $$ |
| | − | \bar{v}=\frac{2eE_0}{m_e\omega}\cos\varphi |
| | + | \varphi=\frac{2e}{m_e}\left(\frac{E_0}{\omega}\right)^2 \ или \ \varphi=\frac{e}{2m_e}\left(\frac{E_0}{\omega}\right)^2\tag{5} |
| | | $$ |
