| ### Решение | | ### Решение |
| Начальная скорость равна 0, поэтому | | Начальная скорость равна 0, поэтому |
| $$ | | $$ |
| v=\int_0^t a dt\tag{1} | | v=\int_0^t a dt\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| $II$ закон Ньютона: | | $II$ закон Ньютона: |
| $$ | | $$ |
| F=-Ee=am_e \tag{2} | | F=-Ee=am_e \tag{2} |
| $$ | | $$ |
| Сделаем замену $a_0=\frac{eE_0}{m_e}$, $(2)\to(1)$ | | Сделаем замену $a_0=\frac{eE_0}{m_e}$, $(2)\to(1)$ |
| $$ | | $$ |
| v(t)=-a_0\int_0^t \sin (\omega t + \varphi) dt=\frac{eE_0}{m_e\omega} \left(\cos (\omega t + \varphi)-\cos \varphi\right)\tag{3} | | v(t)=-a_0\int_0^t \sin (\omega t + \varphi) dt=\frac{eE_0}{m_e\omega} \left(\cos (\omega t + \varphi)-\cos \varphi\right)\tag{3} |
| $$ | | $$ |
| Учитывая множество значения косинуса, выражение в скобках может принимать значения $[-1-\cos \varphi;1-\cos \varphi]$. Тут надо быть аккуратным: помнить, что нам надо максимальный модуль скорости, и что $\cos \varphi$ может быть как положительным, так и отрицательным. В итоге, анализируя $(3)$, получим | | Учитывая множество значения косинуса, выражение в скобках может принимать значения $[-1-\cos \varphi;1-\cos \varphi]$. Тут надо быть аккуратным: помнить, что нам надо максимальный модуль скорости, и что $\cos \varphi$ может быть как положительным, так и отрицательным. В итоге, анализируя $(3)$, получим |
| $$ | | $$ |
| v_{max}=\frac{eE_0}{m_e\omega}(1+|\cos\varphi|) | | v_{max}=\frac{eE_0}{m_e\omega}(1+|\cos\varphi|) |
| $$ | | $$ |
| Понятно, что скорость меняется периодично с периодом $T=\frac{2\pi}{\omega}$. Тогда среднее значение | | Понятно, что скорость меняется периодично с периодом $T=\frac{2\pi}{\omega}$. Тогда среднее значение |
| $$ | | $$ |
| \bar{v}=\frac{1}{T}\int_0^Tv(t)dt\tag{4} | | \bar{v}=\frac{1}{T}\int_0^Tv(t)dt\tag{4} |
| $$ | | $$ |
| Позволю себе пропустить вычисление интеграла - помня, что интеграл от косинуса по его периоду равен $0$, это можно сделать очень быстро. В итоге получим, беря по модулю: | | Позволю себе пропустить вычисление интеграла - помня, что интеграл от косинуса по его периоду равен $0$, это можно сделать очень быстро. В итоге получим, беря по модулю: |
| $$ | | $$ |
| \bar{v}=\frac{2eE_0}{m_e\omega}\cos\varphi | | \bar{v}=\frac{2eE_0}{m_e\omega}\cos\varphi |
| $$ | | $$ |
| | | |
| В авторском ответе опечатка | | В авторском ответе опечатка |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| $$ | | $$ |
| v_{max}=\frac{eE_0}{m_e\omega}(1+|\cos\varphi|) | | v_{max}=\frac{eE_0}{m_e\omega}(1+|\cos\varphi|) |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| \bar{v}=\frac{2eE_0}{m_e\omega}\cos\varphi | | \bar{v}=\frac{2eE_0}{m_e\omega}\cos\varphi |
| $$ | | $$ |
