Решение

0. Об идеи решения.

По идеи автора мы можем прийти к ответу используя путь решение задачи $6.5.3$, но мы поступим иначе, быть может интереснее.

Построим вокруг нашей сферы $\omega_{1}$ с центром $O$, построить сферу $\omega_{2}$ с тем же центром $O$ с тем же зарядом $Q$, но радиусом $\approx R$ и найти силу действующую на единицу площади поверхности сферы $\omega_{1}$, со стороны сферы $\omega_{2}$

1. Нахождение давления.

$P = \frac{F}{S}$,где $S = 4\pi R^2$

и $F = \frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_{0}\Delta R^2}$ , где $\Delta R$ есть растояние от сферы $\omega_{1}$ до сферы $\omega_{2}$

Найдём связь между телесным углом (со стороны сферы $\omega_{2}$ т.е. мы смотрим со стороны $\omega_{2}$ на сферу $\omega_{1}$) и $F$.
$$\boxed{F = \frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_{0}\Delta R^2} = \frac{Q^2 \Omega}{4\pi \varepsilon_{0}S}}$$
Возникнет вопрос, чему равен $\Omega$?

Краткий вывод:

$\Omega = 2\pi(1 - cos(\theta))$, где в нашем случае $cos(\theta) = \frac{\sqrt{r'^2 - r^2}}{r'}) \Rightarrow$

$$\boxed{\Omega = 2\pi(1 - \frac{\sqrt{r'^2 - r^2}}{r'})}$$

В нашем случае r'$\approx R$ - радиус $\omega_{2}$, r $= R$ - радиус $\omega_{1}$ ,тогда после подстановки наших $r'$ и $r$, получим $\Omega = 2\pi$

И теперь уже получаем наше давление.

$P = \frac{F}{S} = \frac{Q^2 \Omega}{4\pi \varepsilon_{0}S^2} = \frac{Q^2}{32\pi^2 \varepsilon_{0} R^4}$