New solution

naz edited
View solution History
revision #19146 newer →
ru/11.2.10.md +60 −0
@@ -0,0 +1,60 @@
+### Условие
+
+$11.2.10.$ [Вставьте условие задачи]
+
+### Решение
+
+Савченко не приводит этого в условии, но явно подразумевает что $$T << RC$$ в обоих пунктах задачи.
+
+а) Вывод уравнений для заряда на конденсаторе в зависимости от времени не относится к теме главы, поэтому с разрешения читателя он тут не приводится.
+
+Итак, возьмем уравнение для заряда на конденсаторе в зависимости от времени:
+
+$$q = \epsilon C (1 - e^{-frac{t}{RC}})$$
+
+Отсюда не сложно вывести формулу для напряжения на конденсаторе:
+
+$$U = \epsilon(1 - e^{-frac{t}{RC}})$$
+
+Теперь подумаем, данные уравнения описывают зарядку при постоянной ЭДС. Это явно не наш случай поэтому $\epsilon$ явно зависит от t. При чем заряд на конденсаторе накапливается до тех пор пока $\epsilon > U$. Поэтому в уравнение для заряда в предельном случае следует подставить $\epsilon = V$, а в уравнение для напряжения нужно подставить то напряжение которое индуцируется полем.
+
+Воспользуемся довольно известным пределом для аргумента стремящегося к 0:
+
+$$e^x = 1 + x$$
+
+Перепишем с учетом этого наши уравнения, так же не забудем поменять обозначения исходя из сказанного выше:
+
+$$q = \frac{UT}{R}$$
+
+$$U = \frac{\epsilon_{i} T}{RC}$$
+
+Очевидно, что нам теперь нужно максимизировать U. а значит максимизировать $\epsilon_i$. Максимальное ее значение:
+
+$$\epsilon_i = \frac{\Phi}{T}$$
+
+Отсюда:
+
+$$q_max = \frac{\Phi T}{CR^2}$$
+
+б) Несмотря на звездочку, используя прошлый пункт решение будет довольно простым.
+
+В условии имеется ввиду что в RC-контуре имеется источник постоянного тока и побочный шум i(t) создаваемый магнитным полем. Значит заряд накопившийся на конденсаторе за малый T равен:
+
+$$Q = IT + q_{ind}$$
+
+А значит сила тока через него:
+
+$$\hat{I} = I + \frac{q_{ind}}{T}$$
+
+А значит искомая погрешность есть:
+
+$$\Delta I = \frac{\q_{ind}}{T}$$
+
+А ведь максимум этого выражения достигается при максимальном заряде, который накопится на обкладках при кратковременном включении поля, а это значение мы уже находили. Осталось только сделать оговорку, что в нашем выражении из пункта а необходимо заменить $\frac{\Phi}{R} = kIT$, т.к. мы рассматриваем худший случай при котором наш импульс постоянного тока совпадает по времени с пиковым значением переменного. Отсюда, с учетом формулы из пункта a, получаем:
+
+$$\Delta I = \frac{kIT}{RC}$$
+
+
+#### Ответ
+
+[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]