$11.2.10.$ В цепь электрического контура входит сопротивление $R$ и незаряженный конденсатор емкости $C$.
+
а. Докажите, что заряд на конденсаторе в процессе появления, а затем исчезновения магнитного потока через контур не превышает величины $\frac{ΦT}{CR^2}$, где $T$ — время существования этого магнитного потока, $Φ$ — его максимальное значение.
+
+
б∗. Для определения постоянного тока $I$, текущего в контуре в течение времени $T$, при наличии в этом же промежутке времени переменного тока, вызванного электромагнитной индукцией, измеряют потенциал емкости $V$ после того, как все токи исчезнут, а затем оценивают постоянный ток по формуле $I = \frac{CV}{T}$.
+
Определите максимальную погрешность такой оценки в случае, когда амплитуда переменного тока в $k$ раз больше $I$.
+
### Решение
−
Савченко не приводит этого в условии, но явно подразумевает что $$T << RC$$ в обоих пунктах задачи.
+
Савченко не приводит этого в условии, но явно подразумевает что $T << RC$ в обоих пунктах задачи.
а) Вывод уравнений для заряда на конденсаторе в зависимости от времени не относится к теме главы, поэтому с разрешения читателя он тут не приводится.
Итак, возьмем уравнение для заряда на конденсаторе в зависимости от времени:
−
$$q = \epsilon C (1 - e^{-frac{t}{RC}})$$
+
$$q = \varepsilon C (1 - e^{-\frac{t}{RC}})$$
Отсюда не сложно вывести формулу для напряжения на конденсаторе:
−
$$U = \epsilon(1 - e^{-frac{t}{RC}})$$
+
$$U = \varepsilon(1 - e^{-\frac{t}{RC}})$$
−
Теперь подумаем, данные уравнения описывают зарядку при постоянной ЭДС. Это явно не наш случай поэтому $\epsilon$ явно зависит от t. При чем заряд на конденсаторе накапливается до тех пор пока $\epsilon > U$. Поэтому в уравнение для заряда в предельном случае следует подставить $\epsilon = V$, а в уравнение для напряжения нужно подставить то напряжение которое индуцируется полем.
+
Теперь подумаем, данные уравнения описывают зарядку при постоянной ЭДС. Это явно не наш случай поэтому $\varepsilon$ явно зависит от $t$. При чем заряд на конденсаторе накапливается до тех пор пока $\varepsilon > U$. Поэтому в уравнение для заряда в предельном случае следует подставить $\varepsilon = V$, а в уравнение для напряжения нужно подставить то напряжение которое индуцируется полем.
Воспользуемся довольно известным пределом для аргумента стремящегося к 0:
$$e^x = 1 + x$$
Перепишем с учетом этого наши уравнения, так же не забудем поменять обозначения исходя из сказанного выше:
@@ -26,19 +31,19 @@Решение
$$q = \frac{UT}{R}$$
−
$$U = \frac{\epsilon_{i} T}{RC}$$
+
$$U = \frac{\varepsilon_{i} T}{RC}$$
−
Очевидно, что нам теперь нужно максимизировать U. а значит максимизировать $\epsilon_i$. Максимальное ее значение:
+
Очевидно, что нам теперь нужно максимизировать $U$. а значит максимизировать $\varepsilon_i$. Максимальное ее значение:
−
$$\epsilon_i = \frac{\Phi}{T}$$
+
$$\varepsilon_i = \frac{\Phi}{T}$$
Отсюда:
−
$$q_max = \frac{\Phi T}{CR^2}$$
+
$$q_{max} = \frac{\Phi T}{CR^2}$$
б) Несмотря на звездочку, используя прошлый пункт решение будет довольно простым.
−
В условии имеется ввиду что в RC-контуре имеется источник постоянного тока и побочный шум i(t) создаваемый магнитным полем. Значит заряд накопившийся на конденсаторе за малый T равен:
+
В условии имеется ввиду что в $RC$-контуре имеется источник постоянного тока и побочный шум $i(t)$ создаваемый магнитным полем. Значит заряд накопившийся на конденсаторе за малый $T$ равен:
$$Q = IT + q_{ind}$$
А значит сила тока через него:
$$\hat{I} = I + \frac{q_{ind}}{T}$$
@@ -48,13 +53,15 @@Решение
А значит искомая погрешность есть:
−
$$\Delta I = \frac{\q_{ind}}{T}$$
+
$$\Delta I = \frac{q_{ind}}{T}$$
А ведь максимум этого выражения достигается при максимальном заряде, который накопится на обкладках при кратковременном включении поля, а это значение мы уже находили. Осталось только сделать оговорку, что в нашем выражении из пункта а необходимо заменить $\frac{\Phi}{R} = kIT$, т.к. мы рассматриваем худший случай при котором наш импульс постоянного тока совпадает по времени с пиковым значением переменного. Отсюда, с учетом формулы из пункта a, получаем:
$$\Delta I = \frac{kIT}{RC}$$
#### Ответ
−
[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+
а) Ч.т.д.
+
+
б) $$\Delta I = \frac{kIT}{RC}$$
@@ -1,22 +1,27 @@
### Условие
### Условие
$11.2.10.$[Вставьте условие задачи]
$11.2.10.$ В цепь электрического контура входит сопротивление $R$ и незаряженный конденсатор емкости $C$.
а. Докажите, что заряд на конденсаторе в процессе появления, а затем исчезновения магнитного потока через контур не превышает величины $\frac{ΦT}{CR^2}$, где $T$ — время существования этого магнитного потока, $Φ$ — его максимальное значение.
б∗. Для определения постоянного тока $I$, текущего в контуре в течение времени $T$, при наличии в этом же промежутке времени переменного тока, вызванного электромагнитной индукцией, измеряют потенциал емкости $V$ после того, как все токи исчезнут, а затем оценивают постоянный ток по формуле $I = \frac{CV}{T}$.
Определите максимальную погрешность такой оценки в случае, когда амплитуда переменного тока в $k$ раз больше $I$.
### Решение
### Решение
Савченко не приводит этого в условии, но явно подразумевает что $$T << RC$$ в обоих пунктах задачи.
Савченко не приводит этого в условии, но явно подразумевает что $T << RC$ в обоих пунктах задачи.
а) Вывод уравнений для заряда на конденсаторе в зависимости от времени не относится к теме главы, поэтому с разрешения читателя он тут не приводится.
а) Вывод уравнений для заряда на конденсаторе в зависимости от времени не относится к теме главы, поэтому с разрешения читателя он тут не приводится.
Итак, возьмем уравнение для заряда на конденсаторе в зависимости от времени:
Итак, возьмем уравнение для заряда на конденсаторе в зависимости от времени:
$$q = \epsilon C (1 - e^{-frac{t}{RC}})$$
$$q = \varepsilon C (1 - e^{-\frac{t}{RC}})$$
Отсюда не сложно вывести формулу для напряжения на конденсаторе:
Отсюда не сложно вывести формулу для напряжения на конденсаторе:
$$U = \epsilon(1 - e^{-frac{t}{RC}})$$
$$U = \varepsilon(1 - e^{-\frac{t}{RC}})$$
Теперь подумаем, данные уравнения описывают зарядку при постоянной ЭДС. Это явно не наш случай поэтому $\epsilon$ явно зависит от t. При чем заряд на конденсаторе накапливается до тех пор пока $\epsilon > U$. Поэтому в уравнение для заряда в предельном случае следует подставить $\epsilon = V$, а в уравнение для напряжения нужно подставить то напряжение которое индуцируется полем.
Теперь подумаем, данные уравнения описывают зарядку при постоянной ЭДС. Это явно не наш случай поэтому $\varepsilon$ явно зависит от $t$. При чем заряд на конденсаторе накапливается до тех пор пока $\varepsilon > U$. Поэтому в уравнение для заряда в предельном случае следует подставить $\varepsilon = V$, а в уравнение для напряжения нужно подставить то напряжение которое индуцируется полем.
Воспользуемся довольно известным пределом для аргумента стремящегося к 0:
Воспользуемся довольно известным пределом для аргумента стремящегося к 0:
$$e^x = 1 + x$$
$$e^x = 1 + x$$
Перепишем с учетом этого наши уравнения, так же не забудем поменять обозначения исходя из сказанного выше:
Перепишем с учетом этого наши уравнения, так же не забудем поменять обозначения исходя из сказанного выше:
@@ -26,19 +31,19 @@Решение
$$q = \frac{UT}{R}$$
$$q = \frac{UT}{R}$$
$$U = \frac{\epsilon_{i} T}{RC}$$
$$U = \frac{\varepsilon_{i} T}{RC}$$
Очевидно, что нам теперь нужно максимизировать U. а значит максимизировать $\epsilon_i$. Максимальное ее значение:
Очевидно, что нам теперь нужно максимизировать $U$. а значит максимизировать $\varepsilon_i$. Максимальное ее значение:
$$\epsilon_i = \frac{\Phi}{T}$$
$$\varepsilon_i = \frac{\Phi}{T}$$
Отсюда:
Отсюда:
$$q_max = \frac{\Phi T}{CR^2}$$
$$q_{max} = \frac{\Phi T}{CR^2}$$
б) Несмотря на звездочку, используя прошлый пункт решение будет довольно простым.
б) Несмотря на звездочку, используя прошлый пункт решение будет довольно простым.
В условии имеется ввиду что в RC-контуре имеется источник постоянного тока и побочный шум i(t) создаваемый магнитным полем. Значит заряд накопившийся на конденсаторе за малый T равен:
В условии имеется ввиду что в $RC$-контуре имеется источник постоянного тока и побочный шум $i(t)$ создаваемый магнитным полем. Значит заряд накопившийся на конденсаторе за малый $T$ равен:
$$Q = IT + q_{ind}$$
$$Q = IT + q_{ind}$$
А значит сила тока через него:
А значит сила тока через него:
$$\hat{I} = I + \frac{q_{ind}}{T}$$
$$\hat{I} = I + \frac{q_{ind}}{T}$$
@@ -48,13 +53,15 @@Решение
А значит искомая погрешность есть:
А значит искомая погрешность есть:
$$\Delta I = \frac{\q_{ind}}{T}$$
$$\Delta I = \frac{q_{ind}}{T}$$
А ведь максимум этого выражения достигается при максимальном заряде, который накопится на обкладках при кратковременном включении поля, а это значение мы уже находили. Осталось только сделать оговорку, что в нашем выражении из пункта а необходимо заменить $\frac{\Phi}{R} = kIT$, т.к. мы рассматриваем худший случай при котором наш импульс постоянного тока совпадает по времени с пиковым значением переменного. Отсюда, с учетом формулы из пункта a, получаем:
А ведь максимум этого выражения достигается при максимальном заряде, который накопится на обкладках при кратковременном включении поля, а это значение мы уже находили. Осталось только сделать оговорку, что в нашем выражении из пункта а необходимо заменить $\frac{\Phi}{R} = kIT$, т.к. мы рассматриваем худший случай при котором наш импульс постоянного тока совпадает по времени с пиковым значением переменного. Отсюда, с учетом формулы из пункта a, получаем:
