11.2.10. В цепь электрического контура входит сопротивление $R$ и незаряженный конденсатор емкости $C$.
а. Докажите, что заряд на конденсаторе в процессе появления, а затем исчезновения магнитного потока через контур не превышает величины $\frac{ΦT}{CR^2}$, где $T$ — время существования этого магнитного потока, $Φ$ — его максимальное значение.
б∗. Для определения постоянного тока $I$, текущего в контуре в течение времени $T$, при наличии в этом же промежутке времени переменного тока, вызванного электромагнитной индукцией, измеряют потенциал емкости $V$ после того, как все токи исчезнут, а затем оценивают постоянный ток по формуле $I = \frac{CV}{T}$. Определите максимальную погрешность такой оценки в случае, когда амплитуда переменного тока в $k$ раз больше $I$.
Решение
Савченко не приводит этого в условии, но явно подразумевает что $T << RC$ в обоих пунктах задачи.
а) Вывод уравнений для заряда на конденсаторе в зависимости от времени не относится к теме главы, поэтому с разрешения читателя он тут не приводится.
Итак, возьмем уравнение для заряда на конденсаторе в зависимости от времени:
$$q = \varepsilon C (1 - e^{-\frac{t}{RC}})$$
Отсюда не сложно вывести формулу для напряжения на конденсаторе:
$$U = \varepsilon(1 - e^{-\frac{t}{RC}})$$
Теперь подумаем, данные уравнения описывают зарядку при постоянной ЭДС. Это явно не наш случай поэтому $\varepsilon$ явно зависит от $t$. При чем заряд на конденсаторе накапливается до тех пор пока $\varepsilon > U$. Поэтому в уравнение для заряда в предельном случае следует подставить $\varepsilon = V$, а в уравнение для напряжения нужно подставить то напряжение которое индуцируется полем.
Воспользуемся довольно известным пределом для аргумента стремящегося к 0:
$$e^x = 1 + x$$
Перепишем с учетом этого наши уравнения, так же не забудем поменять обозначения исходя из сказанного выше:
$$q = \frac{UT}{R}$$
$$U = \frac{\varepsilon_{i} T}{RC}$$
Очевидно, что нам теперь нужно максимизировать $U$. а значит максимизировать $\varepsilon_i$. Максимальное ее значение:
$$\varepsilon_i = \frac{\Phi}{T}$$
Отсюда:
$$q_{max} = \frac{\Phi T}{CR^2}$$
б) Несмотря на звездочку, используя прошлый пункт решение будет довольно простым.
В условии имеется ввиду что в $RC$-контуре имеется источник постоянного тока и побочный шум $i(t)$ создаваемый магнитным полем. Значит заряд накопившийся на конденсаторе за малый $T$ равен:
$$Q = IT + q_{ind}$$
А значит сила тока через него:
$$\hat{I} = I + \frac{q_{ind}}{T}$$
А значит искомая погрешность есть:
$$\Delta I = \frac{q_{ind}}{T}$$
А ведь максимум этого выражения достигается при максимальном заряде, который накопится на обкладках при кратковременном включении поля, а это значение мы уже находили. Осталось только сделать оговорку, что в нашем выражении из пункта а необходимо заменить $\frac{\Phi}{R} = kIT$, т.к. мы рассматриваем худший случай при котором наш импульс постоянного тока совпадает по времени с пиковым значением переменного. Отсюда, с учетом формулы из пункта a, получаем:
