Edits to “Условие”, “Решение”, “Закон изменения”

igor edited
View solution History
revision #19188 parent #19182 ← older newer →
ru/3.4.12.md +143 −2
@@ -1,11 +1,152 @@
### Условие
−$3.4.12.$ [Вставьте условие задачи]
+$3.4.12^*.$ Концы пружины жесткости $k$ перемещают в продольном направлении по гармоническому закону:
+$$
+x_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1),\quad
+x_2 = A_2\cos(\omega t + \varphi_2);
+$$
+
+при этом средняя за период сила натяжения пружины равна нулю. Как меняется эта сила со временем? Определите наибольшую и среднюю за большое время энергию пружины. При какой разности фаз $\varphi_2 - \varphi_1$ средняя энергия пружины наибольшая? наименьшая?
+
+
### Решение
−12
+
+#### Закон изменения
+
+По закону Гука
+
+$$
+f=k\Delta=k(x_2-x_1),
+$$
+
+что дает
+
+$$
+f=k[A_2\cos(\omega t + \varphi_2)-A_1\cos(\omega t + \varphi_1)].\tag{1}
+$$
+
+по формуле среднего значения функции
+
+$$
+\bar f=\frac{1}{T}\int_0^T f(t)dt
+$$
+
+убеждаемся, что за период колебаний $\bar f=0$, как и положено.
+
+По какому закону меняется гармонических функций, как в скобках $(1)$? Здесь можно использовать векторные диаграммы. Например, колебанию $x_1$ можно сопоставить вращение вектора длиной $A_1$ из начала координат системы $xOy$. Проекция этого вектора на ось $x$ дает значение $x_1$ в любой момент времени. Нариcуем в момент времени $t=0$ два вектора длинами $A_1,A_2$ с углами к оси $x$ соответственно $\varphi_1,\varphi_2$. Вычтем их на чертеже и получим новый вектор $A_{12}$ из начала. Этот вектор вращается одновременно вместе с векторами длин $A_1,A_2$ (частота вращения векторов $\omega$ одинакова), значит в любой момент он показывает результат вычитания векторов $A_1,A_2$. При постоянных $A_1,A_2$ вектор $A_{12}$ постоянен, вращается в той же частотой $\omega$ — значит, проекция на ось $x$ этого вектора меняется гармонически. Результат вычитания (сложения) гармонических функций одной частоты(!) есть гармоническая функция. Это — геометрический способ объяснения.
+
+Поэтому сила $f$ меняется гармонически. Это уже хорошо показывает равенство нулю ее среднего значения за период.
+
+
+#### Максимальная энергия
+
+Также можно применить геометрические соображения. На этот раз на тригонометрическом круге.
+
+![|1067x986, 50%](../../img/3.4.12/3.4.12.png)
+
+Проекции векторов $A_1,A_2$ на ось $x$ дают $x_1,x_2$ в любой момент времени.
+
+Максимальная энергия будет при максимуме проекции разности векторов на ось $x$ (см. свойства векторов). Разность векторов есть вектор, соединяющий концы показанных векторов. А максимум проекции такого вектора на ось $x$ будет тогда, когда он установится параллельно оси $x$ и будет равен самой разности векторов. Это возможно, так как вращение векторов похоже на вращение твердой конструкции.
+
+Квадрат разности векторов $A_1,A_2$ по чертежу по теореме косинусов
+
+$$
+[A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)],
+$$
+
+что дает максимум энергии
+
+$$
+E_\text{m}=\frac{k}{2}[A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)].
+$$
+
+
+#### Средняя энергия
+
+Закон для энергии
+
+$$
+E=\frac{k}{2}\left[A_2\cos(\omega t + \varphi_2)-A_1\cos(\omega t + \varphi_1)\right]^2.\tag{2}
+$$
+
+Среднее значение $\langle E\rangle$ за большое время (для удобства можно считать при времени $t\to0$) есть среднее правой части формулы $(2)$. Правую часть разложим на слагаемые раскрытием квадрата и применим свойство, что среднее суммы равно сумме средних.
+
+$$
+\langle E\rangle=\langle E_1\rangle+\langle E_2\rangle+\langle E_3\rangle,
+$$
+
+где $\langle E_1\rangle,\langle E_1\rangle,\langle E_1\rangle$ есть слагаемые правой части $(2)$ после раскрытия квадрата.
+
+Первое слагаемое:
+
+$$
+\langle E_1\rangle=\langle\frac{k}{2}A_2^2\cos^2(\omega t+\varphi_2)\rangle
+$$
+
+равно
+
+$$
+\boxed{\langle E_1\rangle=\frac{k}{2}A_2^2\frac{1}{2}}
+$$
+
+(использовали, что среднее значение косинуса в квадрате равно $1/2$).
+
+Второе слагаемое:
+
+$$
+\langle E_2\rangle=\langle kA_2\cos(\omega t+\varphi_2)A_1\cos(\omega t+\varphi_1)\rangle
+$$
+
+преобразуем с использованием тригонометрической формулы
+
+$$
+2\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)
+$$
+
+в
+
+$$
+\langle E_2\rangle=\langle\frac{k}{2}A_2A_1\left[\cos\left(2\omega t+\varphi_2+\varphi_1\right)+\cos\left(\varphi_2-\varphi_1\right)\right]\rangle.
+$$
+
+Оно равно
+
+$$
+\boxed{\langle E_2\rangle\frac{k}{2}A_2A_1\cos\left(\varphi_2-\varphi_1\right).}
+$$
+
+(использовали свойство среднего суммы и что среднее значение косинуса равно $0$).
+
+Третье слагаемое:
+
+$$
+\langle E_3\rangle=\langle\frac{k}{2}A_1^2\cos^2(\omega t+\varphi_1)\rangle
+$$
+
+равно
+
+$$
+\boxed{\langle E_3\rangle=\frac{k}{2}A_1^2\frac{1}{2}}
+$$
+
+(использовали, что среднее значение косинуса в квадрате равно $1/2$).
+
+В итоге сложим слагаемые энергии в рамках в ответ
+
+$$
+\langle E\rangle=\frac{k}{4}[A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)].
+$$
+
+Не сложно понять, что при $\varphi_2-\varphi_1 = \pi$ средняя энергия принимает наибольшее значение, при $\varphi_2-\varphi_1 = 0$ — наименьшее.
+
+
+#### Литература
+
+
+
#### Ответ
[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]