Edit to “Средняя энергия”

igor edited Jun 25, 2026, 9:06 AM

View solution History

revision #19190 parent #19189 ← older newer →

ru/3.4.12.md +1 −1

			### Условие

			$3.4.12^*.$ Концы пружины жесткости $k$ перемещают в продольном направлении по гармоническому закону:

			$$
			x_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1),\quad
			x_2 = A_2\cos(\omega t + \varphi_2);
			$$

			при этом средняя за период сила натяжения пружины равна нулю. Как меняется эта сила со временем? Определите наибольшую и среднюю за большое время энергию пружины. При какой разности фаз $\varphi_2 - \varphi_1$ средняя энергия пружины наибольшая? наименьшая?


			### Решение


			#### Закон изменения

			По закону Гука

			$$
			F=k\Delta=k(x_2-x_1),
			$$

			что дает

			$$
			F=k[A_2\cos(\omega t + \varphi_2)-A_1\cos(\omega t + \varphi_1)].\tag{1}
			$$

			по формуле среднего значения функции [1,2]

			$$
			\bar F=\frac{1}{T}\int_0^T f(t)dt
			$$

			убеждаемся, что за период колебаний $\bar F=0$, как и положено.

			По какому закону меняется разность (сумма) гармонических функций, как в скобках $(1)$? Здесь можно использовать векторные диаграммы (обоснование, например, в середине статьи [3]). Например, колебанию $x_1$ можно сопоставить вращение вектора длиной $A_1$ из начала координат системы $xOy$. Проекция этого вектора на ось $x$ дает значение $x_1$ в любой момент времени. Нариcуем в момент времени $t=0$ два вектора длинами $A_1,A_2$ с углами к оси $x$ соответственно $\varphi_1,\varphi_2$. Вычтем их на чертеже и получим новый вектор $A_{12}$ из начала. Этот вектор вращается одновременно вместе с векторами длин $A_1,A_2$ (частота вращения векторов $\omega$ одинакова), значит в любой момент он показывает результат вычитания векторов $A_1,A_2$. При постоянных $A_1,A_2$ вектор $A_{12}$ постоянен, вращается в той же частотой $\omega$ — значит, проекция на ось $x$ этого вектора меняется гармонически. Результат вычитания (сложения) гармонических функций одной частоты(!) есть гармоническая функция. Это — геометрический способ объяснения.

			Поэтому сила $F$ меняется гармонически. Это уже хорошо показывает равенство нулю ее среднего значения за период.


			#### Максимальная энергия

			Также можно применить геометрические соображения. На этот раз на тригонометрическом круге.

			![\|1067x986, 50%](../../img/3.4.12/3.4.12.png)

			Проекции векторов $A_1,A_2$ на ось $x$ дают $x_1,x_2$ в любой момент времени.

			Максимальная энергия будет при максимуме проекции разности векторов на ось $x$ (см. свойства векторов [4]). Разность векторов есть вектор, соединяющий концы показанных векторов. А максимум проекции такого вектора на ось $x$ будет тогда, когда он установится параллельно оси $x$ и будет равен самой разности векторов. Это возможно, так как вращение векторов похоже на вращение твердой конструкции.

			Квадрат разности векторов $A_1,A_2$ по чертежу по теореме косинусов

			$$
			[A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)],
			$$

			что дает максимум энергии

			$$
			E_\text{m}=\frac{k}{2}[A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)].
			$$


			#### Средняя энергия

			Закон для энергии

			$$
		@@ -71,7 +71,7 @@Средняя энергия
			E=\frac{k}{2}\left[A_2\cos(\omega t + \varphi_2)-A_1\cos(\omega t + \varphi_1)\right]^2.\tag{2}
			$$

		−	Среднее значение $\langle E\rangle$ за большое время (для удобства можно считать при времени $t\to0$) есть среднее правой части формулы $(2)$. Правую часть разложим на слагаемые раскрытием квадрата и применим свойство, что среднее суммы равно сумме средних.
		+	Среднее значение $\langle E\rangle$ за большое время (для удобства можно считать при времени $t\to\infty$) есть среднее правой части формулы $(2)$. Правую часть разложим на слагаемые раскрытием квадрата и применим свойство, что среднее суммы равно сумме средних.

			$$
			\langle E\rangle=\langle E_1\rangle+\langle E_2\rangle+\langle E_3\rangle,
			$$

			где $\langle E_1\rangle,\langle E_1\rangle,\langle E_1\rangle$ есть слагаемые правой части $(2)$ после раскрытия квадрата.

			Первое слагаемое:

			$$
			\langle E_1\rangle=\langle\frac{k}{2}A_2^2\cos^2(\omega t+\varphi_2)\rangle
			$$

			равно

			$$
			\boxed{\langle E_1\rangle=\frac{k}{2}A_2^2\frac{1}{2}}
			$$

			(использовали, что среднее значение косинуса в квадрате равно $1/2$).

			Второе слагаемое:

			$$
			\langle E_2\rangle=\langle kA_2\cos(\omega t+\varphi_2)A_1\cos(\omega t+\varphi_1)\rangle
			$$

			преобразуем с использованием тригонометрической формулы [5]

			$$
			2\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)
			$$

			в

			$$
			\langle E_2\rangle=\langle\frac{k}{2}A_2A_1\left[\cos\left(2\omega t+\varphi_2+\varphi_1\right)+\cos\left(\varphi_2-\varphi_1\right)\right]\rangle.
			$$

			Оно равно

			$$
			\boxed{\langle E_2\rangle\frac{k}{2}A_2A_1\cos\left(\varphi_2-\varphi_1\right).}
			$$

			(использовали свойство среднего суммы и что среднее значение косинуса равно $0$).

			Третье слагаемое:

			$$
			\langle E_3\rangle=\langle\frac{k}{2}A_1^2\cos^2(\omega t+\varphi_1)\rangle
			$$

			равно

			$$
			\boxed{\langle E_3\rangle=\frac{k}{2}A_1^2\frac{1}{2}}
			$$

			(использовали, что среднее значение косинуса в квадрате равно $1/2$).

			В итоге сложим слагаемые энергии в рамках в ответ

			$$
			\langle E\rangle=\frac{k}{4}[A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)].
			$$

			Не сложно понять, что при $\varphi_2-\varphi_1 = \pi$ средняя энергия принимает наибольшее значение, при $\varphi_2-\varphi_1 = 0$ — наименьшее.


			#### Литература

			[1] И. Яковлев. Среднее значение функции. Материалы по физике. mathus.ru.

			[2] Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников. ИТФ Ландау. 1982.

			[3] Г.Я. Мякишев. Расчёт цепей переменного тока с помощью векторных диаграмм. «Квант», 1976, №2.

			[4] И. Яковлев. Векторы в физике. mathus.ru.

			[5] И. Яковлев. Тригонометрические формулы. mathus.ru.


			#### Ответ

			\begin{gather*}
			F=k[A_2\cos(\omega t + \varphi_2)-A_1\cos(\omega t + \varphi_1)],\\\\
			E_\text{m}=\frac{k}{2}[A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)],\\\\
			\langle E\rangle=\frac{k}{4}[A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)].
			\end{gather*}

			При $\varphi_2-\varphi_1 = \pi$ средняя энергия принимает наибольшее значение, при $\varphi_2-\varphi_1 = 0$ — наименьшее.
		unchanged lines 89