Edits to “Закон изменения”, “Максимальная энергия”, “Средняя энергия”

igor edited Jun 25, 2026, 9:05 AM

View solution History

revision #19189 parent #19188 ← older newer →

ru/3.4.12.md +24 −10

			### Условие

			$3.4.12^*.$ Концы пружины жесткости $k$ перемещают в продольном направлении по гармоническому закону:

			$$
			x_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1),\quad
			x_2 = A_2\cos(\omega t + \varphi_2);
			$$

			при этом средняя за период сила натяжения пружины равна нулю. Как меняется эта сила со временем? Определите наибольшую и среднюю за большое время энергию пружины. При какой разности фаз $\varphi_2 - \varphi_1$ средняя энергия пружины наибольшая? наименьшая?


			### Решение


			#### Закон изменения

		@@ -18,26 +18,26 @@Закон изменения
			По закону Гука

			$$
		−	f=k\Delta=k(x_2-x_1),
		+	F=k\Delta=k(x_2-x_1),
			$$

			что дает

			$$
		−	f=k[A_2\cos(\omega t + \varphi_2)-A_1\cos(\omega t + \varphi_1)].\tag{1}
		+	F=k[A_2\cos(\omega t + \varphi_2)-A_1\cos(\omega t + \varphi_1)].\tag{1}
			$$

		−	по формуле среднего значения функции
		+	по формуле среднего значения функции [1,2]

			$$
		−	\bar f=\frac{1}{T}\int_0^T f(t)dt
		+	\bar F=\frac{1}{T}\int_0^T f(t)dt
			$$

		−	убеждаемся, что за период колебаний $\bar f=0$, как и положено.
		+	убеждаемся, что за период колебаний $\bar F=0$, как и положено.

		−	По какому закону меняется гармонических функций, как в скобках $(1)$? Здесь можно использовать векторные диаграммы. Например, колебанию $x_1$ можно сопоставить вращение вектора длиной $A_1$ из начала координат системы $xOy$. Проекция этого вектора на ось $x$ дает значение $x_1$ в любой момент времени. Нариcуем в момент времени $t=0$ два вектора длинами $A_1,A_2$ с углами к оси $x$ соответственно $\varphi_1,\varphi_2$. Вычтем их на чертеже и получим новый вектор $A_{12}$ из начала. Этот вектор вращается одновременно вместе с векторами длин $A_1,A_2$ (частота вращения векторов $\omega$ одинакова), значит в любой момент он показывает результат вычитания векторов $A_1,A_2$. При постоянных $A_1,A_2$ вектор $A_{12}$ постоянен, вращается в той же частотой $\omega$ — значит, проекция на ось $x$ этого вектора меняется гармонически. Результат вычитания (сложения) гармонических функций одной частоты(!) есть гармоническая функция. Это — геометрический способ объяснения.
		+	По какому закону меняется разность (сумма) гармонических функций, как в скобках $(1)$? Здесь можно использовать векторные диаграммы (обоснование, например, в середине статьи [3]). Например, колебанию $x_1$ можно сопоставить вращение вектора длиной $A_1$ из начала координат системы $xOy$. Проекция этого вектора на ось $x$ дает значение $x_1$ в любой момент времени. Нариcуем в момент времени $t=0$ два вектора длинами $A_1,A_2$ с углами к оси $x$ соответственно $\varphi_1,\varphi_2$. Вычтем их на чертеже и получим новый вектор $A_{12}$ из начала. Этот вектор вращается одновременно вместе с векторами длин $A_1,A_2$ (частота вращения векторов $\omega$ одинакова), значит в любой момент он показывает результат вычитания векторов $A_1,A_2$. При постоянных $A_1,A_2$ вектор $A_{12}$ постоянен, вращается в той же частотой $\omega$ — значит, проекция на ось $x$ этого вектора меняется гармонически. Результат вычитания (сложения) гармонических функций одной частоты(!) есть гармоническая функция. Это — геометрический способ объяснения.

		−	Поэтому сила $f$ меняется гармонически. Это уже хорошо показывает равенство нулю ее среднего значения за период.
		+	Поэтому сила $F$ меняется гармонически. Это уже хорошо показывает равенство нулю ее среднего значения за период.


			#### Максимальная энергия

			Также можно применить геометрические соображения. На этот раз на тригонометрическом круге.

			![\|1067x986, 50%](../../img/3.4.12/3.4.12.png)
		@@ -48,7 +48,7 @@Максимальная энергия

			Проекции векторов $A_1,A_2$ на ось $x$ дают $x_1,x_2$ в любой момент времени.

		−	Максимальная энергия будет при максимуме проекции разности векторов на ось $x$ (см. свойства векторов). Разность векторов есть вектор, соединяющий концы показанных векторов. А максимум проекции такого вектора на ось $x$ будет тогда, когда он установится параллельно оси $x$ и будет равен самой разности векторов. Это возможно, так как вращение векторов похоже на вращение твердой конструкции.
		+	Максимальная энергия будет при максимуме проекции разности векторов на ось $x$ (см. свойства векторов [4]). Разность векторов есть вектор, соединяющий концы показанных векторов. А максимум проекции такого вектора на ось $x$ будет тогда, когда он установится параллельно оси $x$ и будет равен самой разности векторов. Это возможно, так как вращение векторов похоже на вращение твердой конструкции.

			Квадрат разности векторов $A_1,A_2$ по чертежу по теореме косинусов

			$$
			[A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)],
			$$

			что дает максимум энергии

			$$
			E_\text{m}=\frac{k}{2}[A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)].
			$$


			#### Средняя энергия

			Закон для энергии

			$$
			E=\frac{k}{2}\left[A_2\cos(\omega t + \varphi_2)-A_1\cos(\omega t + \varphi_1)\right]^2.\tag{2}
			$$

			Среднее значение $\langle E\rangle$ за большое время (для удобства можно считать при времени $t\to0$) есть среднее правой части формулы $(2)$. Правую часть разложим на слагаемые раскрытием квадрата и применим свойство, что среднее суммы равно сумме средних.

			$$
			\langle E\rangle=\langle E_1\rangle+\langle E_2\rangle+\langle E_3\rangle,
			$$

			где $\langle E_1\rangle,\langle E_1\rangle,\langle E_1\rangle$ есть слагаемые правой части $(2)$ после раскрытия квадрата.

			Первое слагаемое:

			$$
			\langle E_1\rangle=\langle\frac{k}{2}A_2^2\cos^2(\omega t+\varphi_2)\rangle
			$$

			равно

			$$
			\boxed{\langle E_1\rangle=\frac{k}{2}A_2^2\frac{1}{2}}
			$$

			(использовали, что среднее значение косинуса в квадрате равно $1/2$).

			Второе слагаемое:

			$$
		@@ -99,7 +99,7 @@Средняя энергия
			\langle E_2\rangle=\langle kA_2\cos(\omega t+\varphi_2)A_1\cos(\omega t+\varphi_1)\rangle
			$$

		−	преобразуем с использованием тригонометрической формулы
		+	преобразуем с использованием тригонометрической формулы [5]

			$$
			2\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)
			$$

			в

			$$
			\langle E_2\rangle=\langle\frac{k}{2}A_2A_1\left[\cos\left(2\omega t+\varphi_2+\varphi_1\right)+\cos\left(\varphi_2-\varphi_1\right)\right]\rangle.
			$$

			Оно равно

			$$
			\boxed{\langle E_2\rangle\frac{k}{2}A_2A_1\cos\left(\varphi_2-\varphi_1\right).}
			$$

			(использовали свойство среднего суммы и что среднее значение косинуса равно $0$).

			Третье слагаемое:

			$$
			\langle E_3\rangle=\langle\frac{k}{2}A_1^2\cos^2(\omega t+\varphi_1)\rangle
			$$

			равно

			$$
			\boxed{\langle E_3\rangle=\frac{k}{2}A_1^2\frac{1}{2}}
			$$

			(использовали, что среднее значение косинуса в квадрате равно $1/2$).

			В итоге сложим слагаемые энергии в рамках в ответ

			$$
			\langle E\rangle=\frac{k}{4}[A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)].
			$$

			Не сложно понять, что при $\varphi_2-\varphi_1 = \pi$ средняя энергия принимает наибольшее значение, при $\varphi_2-\varphi_1 = 0$ — наименьшее.

		@@ -144,9 +144,23 @@Средняя энергия

			#### Литература

		+	[1] И. Яковлев. Среднее значение функции. Материалы по физике. mathus.ru.

		+	[2] Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников. ИТФ Ландау. 1982.

		+	[3] Г.Я. Мякишев. Расчёт цепей переменного тока с помощью векторных диаграмм. «Квант», 1976, №2.

		+	[4] И. Яковлев. Векторы в физике. mathus.ru.
		+
		+	[5] И. Яковлев. Тригонометрические формулы. mathus.ru.
		+
		+
			#### Ответ

		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	\begin{gather*}
		+	F=k[A_2\cos(\omega t + \varphi_2)-A_1\cos(\omega t + \varphi_1)],\\\\
		+	E_\text{m}=\frac{k}{2}[A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)],\\\\
		+	\langle E\rangle=\frac{k}{4}[A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)].
		+	\end{gather*}
		+
		+	При $\varphi_2-\varphi_1 = \pi$ средняя энергия принимает наибольшее значение, при $\varphi_2-\varphi_1 = 0$ — наименьшее.

	### Условие		### Условие

	$3.4.12^*.$ Концы пружины жесткости $k$ перемещают в продольном направлении по гармоническому закону:		$3.4.12^*.$ Концы пружины жесткости $k$ перемещают в продольном направлении по гармоническому закону:

	$$		$$
	x_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1),\quad		x_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1),\quad
	x_2 = A_2\cos(\omega t + \varphi_2);		x_2 = A_2\cos(\omega t + \varphi_2);
	$$		$$

	при этом средняя за период сила натяжения пружины равна нулю. Как меняется эта сила со временем? Определите наибольшую и среднюю за большое время энергию пружины. При какой разности фаз $\varphi_2 - \varphi_1$ средняя энергия пружины наибольшая? наименьшая?		при этом средняя за период сила натяжения пружины равна нулю. Как меняется эта сила со временем? Определите наибольшую и среднюю за большое время энергию пружины. При какой разности фаз $\varphi_2 - \varphi_1$ средняя энергия пружины наибольшая? наименьшая?


	### Решение		### Решение


	#### Закон изменения		#### Закон изменения

	@@ -18,26 +18,26 @@Закон изменения
	По закону Гука		По закону Гука

	$$		$$
	f=k\Delta=k(x_2-x_1),		F=k\Delta=k(x_2-x_1),
	$$		$$

	что дает		что дает

	$$		$$
	f=k[A_2\cos(\omega t + \varphi_2)-A_1\cos(\omega t + \varphi_1)].\tag{1}		F=k[A_2\cos(\omega t + \varphi_2)-A_1\cos(\omega t + \varphi_1)].\tag{1}
	$$		$$

	по формуле среднего значения функции		по формуле среднего значения функции [1,2]

	$$		$$
	\bar f=\frac{1}{T}\int_0^T f(t)dt		\bar F=\frac{1}{T}\int_0^T f(t)dt
	$$		$$

	убеждаемся, что за период колебаний $\bar f=0$, как и положено.		убеждаемся, что за период колебаний $\bar F=0$, как и положено.

	По какому закону меняется гармонических функций, как в скобках $(1)$? Здесь можно использовать векторные диаграммы. Например, колебанию $x_1$ можно сопоставить вращение вектора длиной $A_1$ из начала координат системы $xOy$. Проекция этого вектора на ось $x$ дает значение $x_1$ в любой момент времени. Нариcуем в момент времени $t=0$ два вектора длинами $A_1,A_2$ с углами к оси $x$ соответственно $\varphi_1,\varphi_2$. Вычтем их на чертеже и получим новый вектор $A_{12}$ из начала. Этот вектор вращается одновременно вместе с векторами длин $A_1,A_2$ (частота вращения векторов $\omega$ одинакова), значит в любой момент он показывает результат вычитания векторов $A_1,A_2$. При постоянных $A_1,A_2$ вектор $A_{12}$ постоянен, вращается в той же частотой $\omega$ — значит, проекция на ось $x$ этого вектора меняется гармонически. Результат вычитания (сложения) гармонических функций одной частоты(!) есть гармоническая функция. Это — геометрический способ объяснения.		По какому закону меняется разность (сумма) гармонических функций, как в скобках $(1)$? Здесь можно использовать векторные диаграммы (обоснование, например, в середине статьи [3]). Например, колебанию $x_1$ можно сопоставить вращение вектора длиной $A_1$ из начала координат системы $xOy$. Проекция этого вектора на ось $x$ дает значение $x_1$ в любой момент времени. Нариcуем в момент времени $t=0$ два вектора длинами $A_1,A_2$ с углами к оси $x$ соответственно $\varphi_1,\varphi_2$. Вычтем их на чертеже и получим новый вектор $A_{12}$ из начала. Этот вектор вращается одновременно вместе с векторами длин $A_1,A_2$ (частота вращения векторов $\omega$ одинакова), значит в любой момент он показывает результат вычитания векторов $A_1,A_2$. При постоянных $A_1,A_2$ вектор $A_{12}$ постоянен, вращается в той же частотой $\omega$ — значит, проекция на ось $x$ этого вектора меняется гармонически. Результат вычитания (сложения) гармонических функций одной частоты(!) есть гармоническая функция. Это — геометрический способ объяснения.

	Поэтому сила $f$ меняется гармонически. Это уже хорошо показывает равенство нулю ее среднего значения за период.		Поэтому сила $F$ меняется гармонически. Это уже хорошо показывает равенство нулю ее среднего значения за период.


	#### Максимальная энергия		#### Максимальная энергия

	Также можно применить геометрические соображения. На этот раз на тригонометрическом круге.		Также можно применить геометрические соображения. На этот раз на тригонометрическом круге.

	![\|1067x986, 50%](../../img/3.4.12/3.4.12.png)		![\|1067x986, 50%](../../img/3.4.12/3.4.12.png)
	@@ -48,7 +48,7 @@Максимальная энергия

	Проекции векторов $A_1,A_2$ на ось $x$ дают $x_1,x_2$ в любой момент времени.		Проекции векторов $A_1,A_2$ на ось $x$ дают $x_1,x_2$ в любой момент времени.

	Максимальная энергия будет при максимуме проекции разности векторов на ось $x$ (см. свойства векторов). Разность векторов есть вектор, соединяющий концы показанных векторов. А максимум проекции такого вектора на ось $x$ будет тогда, когда он установится параллельно оси $x$ и будет равен самой разности векторов. Это возможно, так как вращение векторов похоже на вращение твердой конструкции.		Максимальная энергия будет при максимуме проекции разности векторов на ось $x$ (см. свойства векторов [4]). Разность векторов есть вектор, соединяющий концы показанных векторов. А максимум проекции такого вектора на ось $x$ будет тогда, когда он установится параллельно оси $x$ и будет равен самой разности векторов. Это возможно, так как вращение векторов похоже на вращение твердой конструкции.

	Квадрат разности векторов $A_1,A_2$ по чертежу по теореме косинусов		Квадрат разности векторов $A_1,A_2$ по чертежу по теореме косинусов

	$$		$$
	[A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)],		[A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)],
	$$		$$

	что дает максимум энергии		что дает максимум энергии

	$$		$$
	E_\text{m}=\frac{k}{2}[A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)].		E_\text{m}=\frac{k}{2}[A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)].
	$$		$$


	#### Средняя энергия		#### Средняя энергия

	Закон для энергии		Закон для энергии

	$$		$$
	E=\frac{k}{2}\left[A_2\cos(\omega t + \varphi_2)-A_1\cos(\omega t + \varphi_1)\right]^2.\tag{2}		E=\frac{k}{2}\left[A_2\cos(\omega t + \varphi_2)-A_1\cos(\omega t + \varphi_1)\right]^2.\tag{2}
	$$		$$

	Среднее значение $\langle E\rangle$ за большое время (для удобства можно считать при времени $t\to0$) есть среднее правой части формулы $(2)$. Правую часть разложим на слагаемые раскрытием квадрата и применим свойство, что среднее суммы равно сумме средних.		Среднее значение $\langle E\rangle$ за большое время (для удобства можно считать при времени $t\to0$) есть среднее правой части формулы $(2)$. Правую часть разложим на слагаемые раскрытием квадрата и применим свойство, что среднее суммы равно сумме средних.

	$$		$$
	\langle E\rangle=\langle E_1\rangle+\langle E_2\rangle+\langle E_3\rangle,		\langle E\rangle=\langle E_1\rangle+\langle E_2\rangle+\langle E_3\rangle,
	$$		$$

	где $\langle E_1\rangle,\langle E_1\rangle,\langle E_1\rangle$ есть слагаемые правой части $(2)$ после раскрытия квадрата.		где $\langle E_1\rangle,\langle E_1\rangle,\langle E_1\rangle$ есть слагаемые правой части $(2)$ после раскрытия квадрата.

	Первое слагаемое:		Первое слагаемое:

	$$		$$
	\langle E_1\rangle=\langle\frac{k}{2}A_2^2\cos^2(\omega t+\varphi_2)\rangle		\langle E_1\rangle=\langle\frac{k}{2}A_2^2\cos^2(\omega t+\varphi_2)\rangle
	$$		$$

	равно		равно

	$$		$$
	\boxed{\langle E_1\rangle=\frac{k}{2}A_2^2\frac{1}{2}}		\boxed{\langle E_1\rangle=\frac{k}{2}A_2^2\frac{1}{2}}
	$$		$$

	(использовали, что среднее значение косинуса в квадрате равно $1/2$).		(использовали, что среднее значение косинуса в квадрате равно $1/2$).

	Второе слагаемое:		Второе слагаемое:

	$$		$$
	@@ -99,7 +99,7 @@Средняя энергия
	\langle E_2\rangle=\langle kA_2\cos(\omega t+\varphi_2)A_1\cos(\omega t+\varphi_1)\rangle		\langle E_2\rangle=\langle kA_2\cos(\omega t+\varphi_2)A_1\cos(\omega t+\varphi_1)\rangle
	$$		$$

	преобразуем с использованием тригонометрической формулы		преобразуем с использованием тригонометрической формулы [5]

	$$		$$
	2\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)		2\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)
	$$		$$

	в		в

	$$		$$
	\langle E_2\rangle=\langle\frac{k}{2}A_2A_1\left[\cos\left(2\omega t+\varphi_2+\varphi_1\right)+\cos\left(\varphi_2-\varphi_1\right)\right]\rangle.		\langle E_2\rangle=\langle\frac{k}{2}A_2A_1\left[\cos\left(2\omega t+\varphi_2+\varphi_1\right)+\cos\left(\varphi_2-\varphi_1\right)\right]\rangle.
	$$		$$

	Оно равно		Оно равно

	$$		$$
	\boxed{\langle E_2\rangle\frac{k}{2}A_2A_1\cos\left(\varphi_2-\varphi_1\right).}		\boxed{\langle E_2\rangle\frac{k}{2}A_2A_1\cos\left(\varphi_2-\varphi_1\right).}
	$$		$$

	(использовали свойство среднего суммы и что среднее значение косинуса равно $0$).		(использовали свойство среднего суммы и что среднее значение косинуса равно $0$).

	Третье слагаемое:		Третье слагаемое:

	$$		$$
	\langle E_3\rangle=\langle\frac{k}{2}A_1^2\cos^2(\omega t+\varphi_1)\rangle		\langle E_3\rangle=\langle\frac{k}{2}A_1^2\cos^2(\omega t+\varphi_1)\rangle
	$$		$$

	равно		равно

	$$		$$
	\boxed{\langle E_3\rangle=\frac{k}{2}A_1^2\frac{1}{2}}		\boxed{\langle E_3\rangle=\frac{k}{2}A_1^2\frac{1}{2}}
	$$		$$

	(использовали, что среднее значение косинуса в квадрате равно $1/2$).		(использовали, что среднее значение косинуса в квадрате равно $1/2$).

	В итоге сложим слагаемые энергии в рамках в ответ		В итоге сложим слагаемые энергии в рамках в ответ

	$$		$$
	\langle E\rangle=\frac{k}{4}[A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)].		\langle E\rangle=\frac{k}{4}[A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)].
	$$		$$

	Не сложно понять, что при $\varphi_2-\varphi_1 = \pi$ средняя энергия принимает наибольшее значение, при $\varphi_2-\varphi_1 = 0$ — наименьшее.		Не сложно понять, что при $\varphi_2-\varphi_1 = \pi$ средняя энергия принимает наибольшее значение, при $\varphi_2-\varphi_1 = 0$ — наименьшее.

	@@ -144,9 +144,23 @@Средняя энергия

	#### Литература		#### Литература

			[1] И. Яковлев. Среднее значение функции. Материалы по физике. mathus.ru.

			[2] Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников. ИТФ Ландау. 1982.

			[3] Г.Я. Мякишев. Расчёт цепей переменного тока с помощью векторных диаграмм. «Квант», 1976, №2.

			[4] И. Яковлев. Векторы в физике. mathus.ru.

			[5] И. Яковлев. Тригонометрические формулы. mathus.ru.


	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		\begin{gather*}
			F=k[A_2\cos(\omega t + \varphi_2)-A_1\cos(\omega t + \varphi_1)],\\\\
			E_\text{m}=\frac{k}{2}[A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)],\\\\
			\langle E\rangle=\frac{k}{4}[A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)].
			\end{gather*}

			При $\varphi_2-\varphi_1 = \pi$ средняя энергия принимает наибольшее значение, при $\varphi_2-\varphi_1 = 0$ — наименьшее.