Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

jzmicer edited
View solution History
revision #19258 parent #19257 ← older
ru/6.6.12.md +60 −5
@@ -1,11 +1,66 @@
### Условие
+$6.6.12.$ Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено двумя слоями разных диэлектриков толщины $d_1$ и $d_2$ . Диэлектрическая проницаемость диэлектриков $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ . Площадь обкладок $S$. Найдите емкость конденсатора. Какой заряд будет индуцироваться на границе раздела диэлектриков, если на пластинах конденсатора разместить заряд $\pm q$?
+![|351x158, 50%](../../img/6.6.12/6.6.12.png)
−$6.6.12.$ [Вставьте условие задачи]
−
### Решение
+Наш конденсатор можно представить как два последовательно подключённых, для них ёмкость
+$$
+\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\tag{1}
+$$
+где
+$$
+C_i=\frac{\varepsilon_i\varepsilon_0S}{d_i}\tag{2}
+$$
+$(2)\to(1):$
+$$
+\frac{1}{C}=\frac{1}{\varepsilon_0S}\left(\frac{d_1}{\varepsilon_1}+\frac{d_2}{\varepsilon_2}\tag{1}\right)
+$$
+$$
+C=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_2S}{\varepsilon_2d_1+\varepsilon_1d_2}\tag{3}
+$$
+ Теперь вспомним, что на границе раздела диэлектриков нормальная компонента поля испытывает скачок. Диэлектрики изотропные, поле нормально к границе раздела, свободных зарядов на границе раздела нет, поэтому
+$$
+\varepsilon_2E_2=\varepsilon_1E_1\tag{4}
+$$
+Для напряжения на конденсаторе после помещения заряда:
+$$
+V=E_1d_1+E_2d_2=\frac{q}{C}\tag{5}
+$$
+Поверхностная плотность связанных (индуцированных) зарядов на границе раздела определяется скачком нормальной компоненты вектора поляризации:
+$$
+\sigma'=P_{n1}-E_{n2}\tag{6}
+$$
+Для изотропного диэлектрика
+$$
+\vec P=(\varepsilon-1)\varepsilon_0\vec E
+$$
+Поэтому
+$$
+\sigma'=(\varepsilon_1-1)\varepsilon_0E_2-(\varepsilon_2-1)\varepsilon_0E_1=\varepsilon_0[(\varepsilon_1E_1-\varepsilon_2E_2)+E_2-E_1]
+$$
+Учитывая $(6)$ в итоге получим красивое выражение:
+$$
+\sigma'=\varepsilon_0(E_2-E_1)\tag{7}
+$$
−1
+Решим систему $(4), (5), (7)$:
+$$
+E_1=\frac{q\varepsilon_2}{C(d_1\varepsilon_2+d_2\varepsilon_1)}, \quad E_2=\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}E_1=\frac{q\varepsilon_1}{C(d_1\varepsilon_2+d_2\varepsilon_1)}
+$$
+$$
+\sigma'=\varepsilon_0q\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{C(d_1\varepsilon_2+d_2\varepsilon_1)}=\varepsilon_0q\frac{\varepsilon_2d_1+\varepsilon_1d_2}{\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_2S}\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{d_1\varepsilon_2+d_2\varepsilon_1}
+$$
+$$
+\sigma'=\frac{q'}{S}=\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1\varepsilon_2}\frac{q}{S}
+$$
+$$
+q'=\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1\varepsilon_2}q
+$$
#### Ответ
−
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+C=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_2S}{\varepsilon_2d_1+\varepsilon_1d_2}
+$$
+$$
+q'=\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1\varepsilon_2}q
+$$