Электростатика > Электрическое поле при наличии диэлектрика > Задача 6.6.12

Условие

$6.6.12.$ Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено двумя слоями разных диэлектриков толщины $d_1$ и $d_2$ . Диэлектрическая проницаемость диэлектриков $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ . Площадь обкладок $S$. Найдите емкость конденсатора. Какой заряд будет индуцироваться на границе раздела диэлектриков, если на пластинах конденсатора разместить заряд $\pm q$?

Решение

Наш конденсатор можно представить как два последовательно подключённых, для них ёмкость
$$
\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\tag{1}
$$
где
$$
C_i=\frac{\varepsilon_i\varepsilon_0S}{d_i}\tag{2}
$$
$(2)\to(1):$
$$
\frac{1}{C}=\frac{1}{\varepsilon_0S}\left(\frac{d_1}{\varepsilon_1}+\frac{d_2}{\varepsilon_2}\tag{1}\right)
$$
$$
C=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_2S}{\varepsilon_2d_1+\varepsilon_1d_2}\tag{3}
$$
Теперь вспомним, что на границе раздела диэлектриков нормальная компонента поля испытывает скачок. Диэлектрики изотропные, поле нормально к границе раздела, свободных зарядов на границе раздела нет, поэтому
$$
\varepsilon_2E_2=\varepsilon_1E_1\tag{4}
$$
Для напряжения на конденсаторе после помещения заряда:
$$
V=E_1d_1+E_2d_2=\frac{q}{C}\tag{5}
$$
Поверхностная плотность связанных (индуцированных) зарядов на границе раздела определяется скачком нормальной компоненты вектора поляризации:
$$
\sigma'=P_{n1}-E_{n2}\tag{6}
$$
Для изотропного диэлектрика
$$
\vec P=(\varepsilon-1)\varepsilon_0\vec E
$$
Поэтому
$$
\sigma'=(\varepsilon_1-1)\varepsilon_0E_2-(\varepsilon_2-1)\varepsilon_0E_1=\varepsilon_0[(\varepsilon_1E_1-\varepsilon_2E_2)+E_2-E_1]
$$
Учитывая $(6)$ в итоге получим красивое выражение:
$$
\sigma'=\varepsilon_0(E_2-E_1)\tag{7}
$$

Решим систему $(4), (5), (7)$:
$$
E_1=\frac{q\varepsilon_2}{C(d_1\varepsilon_2+d_2\varepsilon_1)}, \quad E_2=\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}E_1=\frac{q\varepsilon_1}{C(d_1\varepsilon_2+d_2\varepsilon_1)}
$$
$$
\sigma'=\varepsilon_0q\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{C(d_1\varepsilon_2+d_2\varepsilon_1)}=\varepsilon_0q\frac{\varepsilon_2d_1+\varepsilon_1d_2}{\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_2S}\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{d_1\varepsilon_2+d_2\varepsilon_1}
$$
$$
\sigma'=\frac{q'}{S}=\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1\varepsilon_2}\frac{q}{S}
$$
$$
q'=\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1\varepsilon_2}q
$$

Ответ

$$
C=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_2S}{\varepsilon_2d_1+\varepsilon_1d_2}
$$
$$
q'=\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1\varepsilon_2}q
$$