6.6.12. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено двумя слоями разных диэлектриков толщины $d_1$ и $d_2$ . Диэлектрическая проницаемость диэлектриков $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ . Площадь обкладок $S$. Найдите емкость конденсатора. Какой заряд будет индуцироваться на границе раздела диэлектриков, если на пластинах конденсатора разместить заряд $\pm q$?
Решение
Наш конденсатор можно представить как два последовательно подключённых, для них ёмкость $$\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\tag{1}$$ где $$C_i=\frac{\varepsilon_i\varepsilon_0S}{d_i}\tag{2}$$ $(2)\to(1):$ $$\frac{1}{C}=\frac{1}{\varepsilon_0S}\left(\frac{d_1}{\varepsilon_1}+\frac{d_2}{\varepsilon_2}\tag{1}\right)$$ $$C=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_1\varepsilon_2S}{\varepsilon_2d_1+\varepsilon_1d_2}\tag{3}$$ Теперь вспомним, что на границе раздела диэлектриков нормальная компонента поля испытывает скачок. Диэлектрики изотропные, поле нормально к границе раздела, свободных зарядов на границе раздела нет, поэтому $$\varepsilon_2E_2=\varepsilon_1E_1\tag{4}$$ Для напряжения на конденсаторе после помещения заряда: $$V=E_1d_1+E_2d_2=\frac{q}{C}\tag{5}$$ Поверхностная плотность связанных (индуцированных) зарядов на границе раздела определяется скачком нормальной компоненты вектора поляризации: $$\sigma'=P_{n1}-E_{n2}\tag{6}$$ Для изотропного диэлектрика $$\vec P=(\varepsilon-1)\varepsilon_0\vec E$$ Поэтому $$\sigma'=(\varepsilon_1-1)\varepsilon_0E_2-(\varepsilon_2-1)\varepsilon_0E_1=\varepsilon_0[(\varepsilon_1E_1-\varepsilon_2E_2)+E_2-E_1]$$ Учитывая $(6)$ в итоге получим красивое выражение: $$\sigma'=\varepsilon_0(E_2-E_1)\tag{7}$$
