Edits to “Решение”, “Альтернативное решение”, “Ответ”
ru/7.4.10.md
+44 −1
| ### Условие | |||
| $7.4.10.$ Скорости трёх заряженных частиц массы m изображены на рисунке. Расстояние от | |||
| каждой частицы до ребра металлического двугранного угла d. Заряды первых двух частиц, | |||
| летящих в противоположных направлениях, равны –q, заряд третьей частицы q. Определите скорость этих частиц на большом расстоянии друг от друга. | |||
| @@ -6,4 +6,47 @@Условие | |||
| ### Решение | |||
| − |  | ||
| + | |||
| + | ### Альтернативное решение | ||
| + | |||
| + | Металлическая поверхность двугранного угла является эквипотенциальной поверхностью с потенциалом $\Phi=0$. Чтобы удовлетворить это условие можно заменить влияние индуцированных на металле зарядов одним фиктивным зарядом $+q$, расположенным в четвертом квадранте. | ||
| + | |||
| + | В точке нахождения заряда $-q$ в первом квадранте потенциал создается: реальным зарядом $+q$ из второго квадранта на расстоянии $d\sqrt{2}$, реальным зарядом $-q$ из третьего квадранта на расстоянии $2d$ и и фиктивным зарядом $+q$ на расстоянии $d\sqrt{2}$: | ||
| + | |||
| + | $$\Phi_{1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{q}{d\sqrt{2}}-\frac{q}{2d}+\frac{q}{d\sqrt{2}} \right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{q\sqrt{2}}{d}-\frac{q}{2d} \right)=\frac{q(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}d}$$ | ||
| + | |||
| + | В точке нахождения заряда $+q$ во втором квадранте потенциал создается: двумя реальными зарядами $-q$ на расстоянии $d\sqrt{2}$ каждый и фиктивным зарядом $+q$ на расстоянии $2d$: | ||
| + | |||
| + | $$\Phi_{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( -\frac{q}{d\sqrt{2}}-\frac{q}{d\sqrt{2}}+\frac{q}{2d} \right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( -\frac{q\sqrt{2}}{d}+\frac{q}{2d} \right)=-\Phi_{1}$$ | ||
| + | |||
| + | В точке нахождения заряда $-q$ в третьем квадранте в силу симметрии потенциал в точности равен потенциалу, как у заряда $-q$ из первого квадранта: | ||
| + | |||
| + | $$\Phi_{3}=\Phi_{1}$$ | ||
| + | |||
| + | Энергия взаимодействия реальных зарядов с учетом наведенных на металле зарядов рассчитывается только по трем реальным зарядам. Фиктивный заряд в сумму не включается, так как он находится вне области интегрирования поля (внутри проводника), а его поле лишь математически моделирует поля зарядов, наведенных на угле: | ||
| + | |||
| + | $$W_{0}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{3}q_{i}\Phi_{i}=\frac{1}{2}\left( q_{1}\Phi_{1}+q_{2}\Phi_{2}+q_{3}\Phi_{3} \right)$$ | ||
| + | |||
| + | здесь нумерация соответсвует номеру квадранта. Подставим знаки зарядов и знаки их потенциалов: | ||
| + | |||
| + | $$W_{0}=\frac{1}{2}\left( (-q)\cdot(+\Phi_{1})+(+q)\cdot(-\Phi_{1})+(-q)\cdot(+\Phi_{1}) \right)=-\frac{3}{2}q\Phi_{1}=-\frac{3q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}$$ | ||
| + | |||
| + | Закон сохранения энергии для трех частиц массы $m$: | ||
| + | |||
| + | $$3\cdot\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}+W_{0}=3\cdot\frac{m\upsilon^{2}}{2}$$ | ||
| + | $$3\cdot\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}-\frac{3q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}=3\cdot\frac{m\upsilon^{2}}{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Отсюда: | ||
| + | |||
| + | $$\upsilon=\upsilon_{0}\sqrt{1-\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}m\upsilon_{0}^{2}d}}$$ | ||
| + | |||
| + | Данное решение справедливо при условии, что начальной кинетической энергии достаточно для преодоления кулоновского притяжения, то есть при: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}\ge \frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}$$ | ||
| + | |||
| + | ### Ответ | ||
| + | |||
| + | $$\upsilon=\upsilon_{0}\sqrt{1-\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}m\upsilon_{0}^{2}d}}$$ | ||
| + | |||
| + | при $$\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}\ge \frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}$$ | ||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $7.4.10.$ Скорости трёх заряженных частиц массы m изображены на рисунке. Расстояние от | $7.4.10.$ Скорости трёх заряженных частиц массы m изображены на рисунке. Расстояние от | ||
| каждой частицы до ребра металлического двугранного угла d. Заряды первых двух частиц, | каждой частицы до ребра металлического двугранного угла d. Заряды первых двух частиц, | ||
| летящих в противоположных направлениях, равны –q, заряд третьей частицы q. Определите скорость этих частиц на большом расстоянии друг от друга. | летящих в противоположных направлениях, равны –q, заряд третьей частицы q. Определите скорость этих частиц на большом расстоянии друг от друга. | ||
| @@ -6,4 +6,47 @@Условие | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
|  | ||
| ### Альтернативное решение | |||
| Металлическая поверхность двугранного угла является эквипотенциальной поверхностью с потенциалом $\Phi=0$. Чтобы удовлетворить это условие можно заменить влияние индуцированных на металле зарядов одним фиктивным зарядом $+q$, расположенным в четвертом квадранте. | |||
| В точке нахождения заряда $-q$ в первом квадранте потенциал создается: реальным зарядом $+q$ из второго квадранта на расстоянии $d\sqrt{2}$, реальным зарядом $-q$ из третьего квадранта на расстоянии $2d$ и и фиктивным зарядом $+q$ на расстоянии $d\sqrt{2}$: | |||
| $$\Phi_{1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{q}{d\sqrt{2}}-\frac{q}{2d}+\frac{q}{d\sqrt{2}} \right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{q\sqrt{2}}{d}-\frac{q}{2d} \right)=\frac{q(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}d}$$ | |||
| В точке нахождения заряда $+q$ во втором квадранте потенциал создается: двумя реальными зарядами $-q$ на расстоянии $d\sqrt{2}$ каждый и фиктивным зарядом $+q$ на расстоянии $2d$: | |||
| $$\Phi_{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( -\frac{q}{d\sqrt{2}}-\frac{q}{d\sqrt{2}}+\frac{q}{2d} \right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( -\frac{q\sqrt{2}}{d}+\frac{q}{2d} \right)=-\Phi_{1}$$ | |||
| В точке нахождения заряда $-q$ в третьем квадранте в силу симметрии потенциал в точности равен потенциалу, как у заряда $-q$ из первого квадранта: | |||
| $$\Phi_{3}=\Phi_{1}$$ | |||
| Энергия взаимодействия реальных зарядов с учетом наведенных на металле зарядов рассчитывается только по трем реальным зарядам. Фиктивный заряд в сумму не включается, так как он находится вне области интегрирования поля (внутри проводника), а его поле лишь математически моделирует поля зарядов, наведенных на угле: | |||
| $$W_{0}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{3}q_{i}\Phi_{i}=\frac{1}{2}\left( q_{1}\Phi_{1}+q_{2}\Phi_{2}+q_{3}\Phi_{3} \right)$$ | |||
| здесь нумерация соответсвует номеру квадранта. Подставим знаки зарядов и знаки их потенциалов: | |||
| $$W_{0}=\frac{1}{2}\left( (-q)\cdot(+\Phi_{1})+(+q)\cdot(-\Phi_{1})+(-q)\cdot(+\Phi_{1}) \right)=-\frac{3}{2}q\Phi_{1}=-\frac{3q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}$$ | |||
| Закон сохранения энергии для трех частиц массы $m$: | |||
| $$3\cdot\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}+W_{0}=3\cdot\frac{m\upsilon^{2}}{2}$$ | |||
| $$3\cdot\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}-\frac{3q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}=3\cdot\frac{m\upsilon^{2}}{2}$$ | |||
| Отсюда: | |||
| $$\upsilon=\upsilon_{0}\sqrt{1-\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}m\upsilon_{0}^{2}d}}$$ | |||
| Данное решение справедливо при условии, что начальной кинетической энергии достаточно для преодоления кулоновского притяжения, то есть при: | |||
| $$\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}\ge \frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}$$ | |||
| ### Ответ | |||
| $$\upsilon=\upsilon_{0}\sqrt{1-\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}m\upsilon_{0}^{2}d}}$$ | |||
| при $$\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}\ge \frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}$$ | |||