| @@ -1,15 +1,55 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $7.4.10.$ Скорости трёх заряженных частиц массы m изображены на рисунке. Расстояние от каждой частицы до ребра металлического двугранного угла d. Заряды первых двух частиц, летящих в противоположных направлениях, равны –q, заряд третьей частицы q. Определите скорость этих частиц на большом расстоянии друг от друга. |
| $7.4.10^*.$ Скорости трёх заряженных частиц массы m изображены на рисунке. Расстояние от каждой частицы до ребра металлического двугранного угла d. Заряды первых двух частиц, летящих в противоположных направлениях, равны –q, заряд третьей частицы q. Определите скорость этих частиц на большом расстоянии друг от друга. |
| |
| |
| |
|  |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
|  |
| #### 1. Физическая модель и метод электростатических изображений |
| |
| В задачах подобного класса по умолчанию предполагается, что металлические грани прямого угла уходят в бесконечность. Это позволяет пренебречь краевыми эффектами и считать всю поверхность угла строго эквипотенциальной с нулевым потенциалом ($\Phi = 0$, привязанным к бесконечности). |
| |
| |
| |
| Металлический двугранный угол занимает ровно одну четверть пространства. Три наших реальных заряда летят в оставшемся пустом пространстве. Чтобы учесть влияние индуцированных на металле зарядов, применим метод электростатических изображений: мысленно уберем металлический угол и заменим его такими фиктивными зарядами, чтобы потенциал на месте бывших стенок всё равно остался нулевым. |
| |
| |
| ### Альтернативное решение |
| Здесь применяется изящная геометрическая хитрость: три исходных заряда уже образуют три вершины квадрата со стороной $a = d\sqrt{2}$ и диагональю $2d$. Чтобы занулить потенциал на границах угла, достаточно поместить всего один фиктивный заряд $+q$ в пустующую четвертую вершину квадрата (в ту область, где находился металл). |
| |
| |
| |
| Конфигурация из четырех зарядов по углам квадрата с чередующимися знаками ($-q, +q, -q, +q$) создает строго нулевой потенциал на своих средних линиях (осях симметрии, проходящих через середины противоположных сторон). Именно эти средние линии идеально совпадают с границами нашего металлического угла. |
| |
| |
| |
| Согласно теореме единственности в электростатике, для однозначного определения поля достаточно обеспечить правильное граничное условие ($\Phi = 0$ на стенках). Так как граница занулена, электрическое поле только в области реальных зарядов (в трех пустых квадрантах) будет абсолютно тождественно полю вакуумной конфигурации. Тот факт, что в воображаемой вакуумной модели потенциал за границей (в зоне фиктивного заряда) не равен нулю, не имеет значения — в реальности там находится толща проводника, электростатическое поле внутри которого строго равно нулю по определению. |
| |
| |
| |
| #### 2. Энергия электрического поля |
| |
| Ключевое отличие реальной системы от вакуумного «квадрата» состоит в том, что в реальности электрическое поле существует только в трех свободных квадрантах пространства. Внутри идеального проводника (в четвертом квадранте) макроскопического электростатического поля нет. |
| |
| |
| |
| Так как энергия локализована непосредственно в пространстве поля, а конфигурация полей в вакуумном эквиваленте полностью симметрична по четырем квадрантам, начальная энергия взаимодействия реальной системы $W_0$ составляет ровно $3/4$ от полной энергии вакуумной конфигурации $W_{\text{vac}}$: |
| |
| $$W_0 = \frac{3}{4} W_{\text{vac}}$$ |
| |
| |
| |
| Вычислим $W_{\text{vac}}$ для четырех зарядов. Энергия складывается из взаимодействия по четырем сторонам квадрата (заряды разноименные, расстояние $d\sqrt{2}$) и двум диагоналям (заряды одноименные, расстояние $2d$): |
| |
| $$W_{\text{vac}} = 4 \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{(+q)(-q)}{d\sqrt{2}} \right) + 2 \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{2d} \right)$$ |
| |
| $$W_{\text{vac}} = -\frac{4q^2}{4\pi\varepsilon_0 d\sqrt{2}} + \frac{2q^2}{4\pi\varepsilon_0 (2d)} = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 d} \left( 1 - 2\sqrt{2} \right)$$ |
| |
| |
| |
| Тогда начальная электрическая энергия нашей реальной системы: |
| |
| $$W_0 = \frac{3}{4} \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 d} (1 - 2\sqrt{2}) = -\frac{3q^2(2\sqrt{2} - 1)}{16\pi\varepsilon_0 d}$$ |
| |
| #### 3. Кинематика и закон сохранения энергии |
| |
| Принципиально важно: фиктивный заряд $+q$ не обладает массой, это исключительно математический инструмент для расчета поля. Кинематика системы описывается строго для трех реальных частиц массой $m$. |
| |
| |
| |
| Из-за симметрии кулоновские силы, действующие на каждый из зарядов, направлены строго радиально к вершине угла. Частицы будут синхронно разлетаться, сохраняя форму растущего квадрата. На бесконечности потенциальная энергия поля обратится в нуль, а скорости всех трех частиц станут равны $v$. |
| |
| |
| |
| Запишем закон сохранения энергии: |
| |
| $$3 \frac{mv_0^2}{2} + W_0 = 3 \frac{mv^2}{2}$$ |
| |
| $$3 \frac{mv_0^2}{2} - \frac{3q^2(2\sqrt{2} - 1)}{16\pi\varepsilon_0 d} = 3 \frac{mv^2}{2}$$ |
| |
| |
| |
| Разделим уравнение на 3: |
| |
| $$\frac{mv_0^2}{2} - \frac{q^2(2\sqrt{2} - 1)}{16\pi\varepsilon_0 d} = \frac{mv^2}{2}$$ |
| |
| $$v^2 = v_0^2 - \frac{q^2(2\sqrt{2} - 1)}{8\pi\varepsilon_0 m d}$$ |
| |
| $$v = \sqrt{ v_0^2 - \frac{q^2(2\sqrt{2} - 1)}{8\pi\varepsilon_0 m d} }$$ |
| |
| |
| |
| *Примечание: Разлет частиц на бесконечность возможен при условии, что начальная кинетическая энергия достаточна для преодоления кулоновского притяжения системы (подкоренное выражение $\geqslant 0$).* |
| |
| |
| |
| #### Ответ: |
| |
| $$v = \sqrt{ v_0^2 - \frac{q^2(2\sqrt{2} - 1)}{8\pi\varepsilon_0 m d} } \quad \text{при} \quad \frac{mv_0^2}{2} \geqslant \frac{q^2(2\sqrt{2} - 1)}{16\pi\varepsilon_0 d}$$ |
| |
| |
| |
| ### Альтернативное решение 1 |
| |
| |
| Металлическая поверхность двугранного угла является эквипотенциальной поверхностью с потенциалом $\Phi=0$. Чтобы удовлетворить это условие можно заменить влияние индуцированных на металле зарядов одним фиктивным зарядом $+q$, расположенным в четвертом квадранте. |
| Металлическая поверхность двугранного угла является эквипотенциальной поверхностью с потенциалом $\Phi=0$. Чтобы удовлетворить это условие можно заменить влияние индуцированных на металле зарядов одним фиктивным зарядом $+q$, расположенным в четвертом квадранте. |
| |
| |
| В точке нахождения заряда $-q$ в первом квадранте потенциал создается: реальным зарядом $+q$ из второго квадранта на расстоянии $d\sqrt{2}$, реальным зарядом $-q$ из третьего квадранта на расстоянии $2d$ и и фиктивным зарядом $+q$ на расстоянии $d\sqrt{2}$: |
| В точке нахождения заряда $-q$ в первом квадранте потенциал создается: реальным зарядом $+q$ из второго квадранта на расстоянии $d\sqrt{2}$, реальным зарядом $-q$ из третьего квадранта на расстоянии $2d$ и и фиктивным зарядом $+q$ на расстоянии $d\sqrt{2}$: |
| | | |
| $$\Phi_{1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{q}{d\sqrt{2}}-\frac{q}{2d}+\frac{q}{d\sqrt{2}} \right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{q\sqrt{2}}{d}-\frac{q}{2d} \right)=\frac{q(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}d}$$ | | $$\Phi_{1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{q}{d\sqrt{2}}-\frac{q}{2d}+\frac{q}{d\sqrt{2}} \right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{q\sqrt{2}}{d}-\frac{q}{2d} \right)=\frac{q(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}d}$$ |
| | | |
| В точке нахождения заряда $+q$ во втором квадранте потенциал создается: двумя реальными зарядами $-q$ на расстоянии $d\sqrt{2}$ каждый и фиктивным зарядом $+q$ на расстоянии $2d$: | | В точке нахождения заряда $+q$ во втором квадранте потенциал создается: двумя реальными зарядами $-q$ на расстоянии $d\sqrt{2}$ каждый и фиктивным зарядом $+q$ на расстоянии $2d$: |
| | | |
| $$\Phi_{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( -\frac{q}{d\sqrt{2}}-\frac{q}{d\sqrt{2}}+\frac{q}{2d} \right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( -\frac{q\sqrt{2}}{d}+\frac{q}{2d} \right)=-\Phi_{1}$$ | | $$\Phi_{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( -\frac{q}{d\sqrt{2}}-\frac{q}{d\sqrt{2}}+\frac{q}{2d} \right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( -\frac{q\sqrt{2}}{d}+\frac{q}{2d} \right)=-\Phi_{1}$$ |
| | | |
| В точке нахождения заряда $-q$ в третьем квадранте в силу симметрии потенциал в точности равен потенциалу, как у заряда $-q$ из первого квадранта: | | В точке нахождения заряда $-q$ в третьем квадранте в силу симметрии потенциал в точности равен потенциалу, как у заряда $-q$ из первого квадранта: |
| | | |
| $$\Phi_{3}=\Phi_{1}$$ | | $$\Phi_{3}=\Phi_{1}$$ |
| | | |
| Энергия взаимодействия реальных зарядов с учетом наведенных на металле зарядов рассчитывается только по трем реальным зарядам. Фиктивный заряд в сумму не включается, так как он находится вне области интегрирования поля (внутри проводника), а его поле лишь математически моделирует поля зарядов, наведенных на угле: | | Энергия взаимодействия реальных зарядов с учетом наведенных на металле зарядов рассчитывается только по трем реальным зарядам. Фиктивный заряд в сумму не включается, так как он находится вне области интегрирования поля (внутри проводника), а его поле лишь математически моделирует поля зарядов, наведенных на угле: |
| | | |
| $$W_{0}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{3}q_{i}\Phi_{i}=\frac{1}{2}\left( q_{1}\Phi_{1}+q_{2}\Phi_{2}+q_{3}\Phi_{3} \right)$$ | | $$W_{0}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{3}q_{i}\Phi_{i}=\frac{1}{2}\left( q_{1}\Phi_{1}+q_{2}\Phi_{2}+q_{3}\Phi_{3} \right)$$ |
| | | |
| здесь нумерация соответсвует номеру квадранта. Подставим знаки зарядов и знаки их потенциалов: | | здесь нумерация соответсвует номеру квадранта. Подставим знаки зарядов и знаки их потенциалов: |
| | | |
| $$W_{0}=\frac{1}{2}\left( (-q)\cdot(+\Phi_{1})+(+q)\cdot(-\Phi_{1})+(-q)\cdot(+\Phi_{1}) \right)=-\frac{3}{2}q\Phi_{1}=-\frac{3q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}$$ | | $$W_{0}=\frac{1}{2}\left( (-q)\cdot(+\Phi_{1})+(+q)\cdot(-\Phi_{1})+(-q)\cdot(+\Phi_{1}) \right)=-\frac{3}{2}q\Phi_{1}=-\frac{3q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}$$ |
| | | |
| Закон сохранения энергии для трех частиц массы $m$: | | Закон сохранения энергии для трех частиц массы $m$: |
| | | |
| $$3\cdot\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}+W_{0}=3\cdot\frac{m\upsilon^{2}}{2}$$ | | $$3\cdot\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}+W_{0}=3\cdot\frac{m\upsilon^{2}}{2}$$ |
| $$3\cdot\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}-\frac{3q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}=3\cdot\frac{m\upsilon^{2}}{2}$$ | | $$3\cdot\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}-\frac{3q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}=3\cdot\frac{m\upsilon^{2}}{2}$$ |
| | | |
| Отсюда: | | Отсюда: |
| | | |
| $$\upsilon=\upsilon_{0}\sqrt{1-\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}m\upsilon_{0}^{2}d}}$$ | | $$\upsilon=\upsilon_{0}\sqrt{1-\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}m\upsilon_{0}^{2}d}}$$ |
| | | |
| Данное решение справедливо при условии, что начальной кинетической энергии достаточно для преодоления кулоновского притяжения, то есть при: | | Данное решение справедливо при условии, что начальной кинетической энергии достаточно для преодоления кулоновского притяжения, то есть при: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| W=\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{2}\int E^2\,dV, | | W=\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{2}\int E^2\,dV, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $E$ есть поле, создаваемое этими зарядами, а интеграл берется по всему пространству. | | где $E$ есть поле, создаваемое этими зарядами, а интеграл берется по всему пространству. |
| | | |
| Из симметрии бесконечный металл вырезает четверть энергии во всем пространстве от той энергии, которую имеют четыре реальных заряда, если заряд-изображение в металле заменяем на реальный и металл убираем. Поэтому пишем для начальной электрической энергии системы с металлом | | Из симметрии бесконечный металл вырезает четверть энергии во всем пространстве от той энергии, которую имеют четыре реальных заряда, если заряд-изображение в металле заменяем на реальный и металл убираем. Поэтому пишем для начальной электрической энергии системы с металлом |
| | | |
| $$ | | $$ |
| W_0=\frac{3}{4}\left(2\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0(2d)}-4\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0\left(\sqrt2d\right)}+W_\text{соб}\right), | | W_0=\frac{3}{4}\left(2\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0(2d)}-4\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0\left(\sqrt2d\right)}+W_\text{соб}\right), |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $W_\text{соб}$ есть сумма собственных электрических энергий четырех зарадов (уединенный заряд сам по себе обладает энергией считаем [1,2,3]). | | где $W_\text{соб}$ есть сумма собственных электрических энергий четырех зарадов (уединенный заряд сам по себе обладает энергией считаем [1,2,3]). |
| | | |
| Для конечной электрической энергии системы | | Для конечной электрической энергии системы |
| | | |
| $$ | | $$ |
| W=\frac{3}{4}\left(W_\text{соб}\right), | | W=\frac{3}{4}\left(W_\text{соб}\right), |
| $$ | | $$ |
| | | |
| так как одного заряда из четырех равных нет. | | так как одного заряда из четырех равных нет. |
| | | |
| Закон сохранения энергии для системы с металлом : | | Закон сохранения энергии для системы с металлом : |
| | | |
| $$ | | $$ |
| 3\cdot\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}+W_{0}=3\cdot\frac{m\upsilon^{2}}{2}+W. | | 3\cdot\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}+W_{0}=3\cdot\frac{m\upsilon^{2}}{2}+W. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Откуда: | | Откуда: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \upsilon=\upsilon_{0}\sqrt{1-\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}m\upsilon_{0}^{2}d}}. | | \upsilon=\upsilon_{0}\sqrt{1-\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}m\upsilon_{0}^{2}d}}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Данное решение справедливо при условии, что начальной кинетической энергии достаточно для преодоления кулоновского притяжения, то есть при: | | Данное решение справедливо при условии, что начальной кинетической энергии достаточно для преодоления кулоновского притяжения, то есть при: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}\ge \frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}. | | \frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}\ge \frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Примечание: работу поля над приповерхностными индуцированными зарядами в металле при их перераспределении мы не учитываем, потому что они даже уходя в глубь металла проходят пренебрежимо малое расстояние, то есть работа поля пренебрежимо мала над приповерхностными зарядами. Поле в приповерхностном слое перпендикулярно проводнику (см. также параграф 23 задачу 7 в [1]). | | Примечание: работу поля над приповерхностными индуцированными зарядами в металле при их перераспределении мы не учитываем, потому что они даже уходя в глубь металла проходят пренебрежимо малое расстояние, то есть работа поля пренебрежимо мала над приповерхностными зарядами. Поле в приповерхностном слое перпендикулярно проводнику (см. также параграф 23 задачу 7 в [1]). |
| | | |
| | | |
| #### Литература | | #### Литература |
| | | |
| [1] Сивухин Д.В. Электричество. Общий курс физики. – 1983. | | [1] Сивухин Д.В. Электричество. Общий курс физики. – 1983. |
| | | |
| [2] Л. Ландау и Е. Лифшиц, Теория поля, Гостехиздат, 1948, § 37. | | [2] Л. Ландау и Е. Лифшиц, Теория поля, Гостехиздат, 1948, § 37. |
| | | |
| [3] Курс лекций по общей физике, Ч. III Электричество и магнетизм, Электростатика, изд-е второе. Крюков С.П. СУНЦ МГУ. | | [3] Курс лекций по общей физике, Ч. III Электричество и магнетизм, Электростатика, изд-е второе. Крюков С.П. СУНЦ МГУ. |
| | | |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$\upsilon=\upsilon_{0}\sqrt{1-\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}m\upsilon_{0}^{2}d}}$$ | | $$\upsilon=\upsilon_{0}\sqrt{1-\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_{0}m\upsilon_{0}^{2}d}}$$ |
| | | |
| при $$\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}\ge \frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}$$ | | при $$\frac{m\upsilon_{0}^{2}}{2}\ge \frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_{0}d}$$ |
