Edits to “Условие”, “Ответ”
ru/11.5.25.md
+4 −3
| @@ -1,6 +1,8 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $11.5.25.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $11.5.25.$ Между двумясвехпроводящими шинами с постоянной скоростью $v_0$ движется поршень по направлению к перемычке массы $m$, образуя сверхпро- | ||
| + | водящую цепь. Найдите максимальную скорость перемычки, если в начальный момент она покоилась, ток в цепи был равен $I_0$, а расстояние между поршнем и | ||
| + | перемычкой было равно $x$. Индуктивность на единицу длины шин $L$. Трением пренебречь. | ||
| ### Решение | |||
| Из закона сохранения магнитного потока: | |||
| $$LxI_0 = Ll I$$ | |||
| $$I = I_0 \frac{x}{l}$$ | |||
| Сила, действующая на пластинку: | |||
| $$m \frac{d \upsilon'}{dt} = \frac{\partial U}{\partial l}$$ | |||
| Производная энергии магнитного поля по расстоянию равна: | |||
| $$\frac{\partial U}{\partial l} = \frac{1}{2} I^2 \mathcal {L}$$ | |||
| $$\mathcal {L} = Ll$$ | |||
| $$\frac{\partial U}{\partial l} = \frac{1}{2} I^2 L$$ | |||
| Подставим выражения для силы тока: | |||
| $$\frac{\partial U}{\partial l} = \frac{1}{2} I_0^2 x^2 L\frac{1}{l^2}$$ | |||
| Теперь вернемся к левой части 2-го закона Ньютона: | |||
| $$m \frac {d \upsilon'}{d t} = m \frac {d \upsilon'}{d l}\frac {d l}{d t}$$ | |||
| $$m \frac {d \upsilon'}{d t} = m \frac {d \upsilon'}{d l}(\upsilon' - \upsilon)$$ | |||
| Вернемся к началу, подставим все значения и проинтегрируем: | |||
| $$\int_0^{\upsilon_{max}}(\upsilon' - \upsilon)d \upsilon' = \int_0^\infty \frac{1}{2} I_0^2 x^2 L\frac{dl}{l^2}$$ | |||
| Получаем квадратное уравнение: | |||
| $$\frac{1}{2}\upsilon_{max}^2 - \upsilon \upsilon_{max} - \frac{1}{2} I_0^2 xL = 0$$ | |||
| И находим ответ: | |||
| @@ -26,5 +28,4 @@Решение | |||
| $$\upsilon_{max} = \upsilon(1 + \sqrt{1 + \frac{I_0^2 x L}{m \upsilon^2}})$$ | |||
| #### Ответ | |||
| − | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $$\upsilon_{max} = \upsilon(1 + \sqrt{1 + \frac{I_0^2 x L}{m \upsilon^2}})$$ | ||
| @@ -1,6 +1,8 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $11.5.25.$ [Вставьте условие задачи] | $11.5.25.$ Между двумясвехпроводящими шинами с постоянной скоростью $v_0$ движется поршень по направлению к перемычке массы $m$, образуя сверхпро- | ||
| водящую цепь. Найдите максимальную скорость перемычки, если в начальный момент она покоилась, ток в цепи был равен $I_0$, а расстояние между поршнем и | |||
| перемычкой было равно $x$. Индуктивность на единицу длины шин $L$. Трением пренебречь. | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Из закона сохранения магнитного потока: | Из закона сохранения магнитного потока: | ||
| $$LxI_0 = Ll I$$ | $$LxI_0 = Ll I$$ | ||
| $$I = I_0 \frac{x}{l}$$ | $$I = I_0 \frac{x}{l}$$ | ||
| Сила, действующая на пластинку: | Сила, действующая на пластинку: | ||
| $$m \frac{d \upsilon'}{dt} = \frac{\partial U}{\partial l}$$ | $$m \frac{d \upsilon'}{dt} = \frac{\partial U}{\partial l}$$ | ||
| Производная энергии магнитного поля по расстоянию равна: | Производная энергии магнитного поля по расстоянию равна: | ||
| $$\frac{\partial U}{\partial l} = \frac{1}{2} I^2 \mathcal {L}$$ | $$\frac{\partial U}{\partial l} = \frac{1}{2} I^2 \mathcal {L}$$ | ||
| $$\mathcal {L} = Ll$$ | $$\mathcal {L} = Ll$$ | ||
| $$\frac{\partial U}{\partial l} = \frac{1}{2} I^2 L$$ | $$\frac{\partial U}{\partial l} = \frac{1}{2} I^2 L$$ | ||
| Подставим выражения для силы тока: | Подставим выражения для силы тока: | ||
| $$\frac{\partial U}{\partial l} = \frac{1}{2} I_0^2 x^2 L\frac{1}{l^2}$$ | $$\frac{\partial U}{\partial l} = \frac{1}{2} I_0^2 x^2 L\frac{1}{l^2}$$ | ||
| Теперь вернемся к левой части 2-го закона Ньютона: | Теперь вернемся к левой части 2-го закона Ньютона: | ||
| $$m \frac {d \upsilon'}{d t} = m \frac {d \upsilon'}{d l}\frac {d l}{d t}$$ | $$m \frac {d \upsilon'}{d t} = m \frac {d \upsilon'}{d l}\frac {d l}{d t}$$ | ||
| $$m \frac {d \upsilon'}{d t} = m \frac {d \upsilon'}{d l}(\upsilon' - \upsilon)$$ | $$m \frac {d \upsilon'}{d t} = m \frac {d \upsilon'}{d l}(\upsilon' - \upsilon)$$ | ||
| Вернемся к началу, подставим все значения и проинтегрируем: | Вернемся к началу, подставим все значения и проинтегрируем: | ||
| $$\int_0^{\upsilon_{max}}(\upsilon' - \upsilon)d \upsilon' = \int_0^\infty \frac{1}{2} I_0^2 x^2 L\frac{dl}{l^2}$$ | $$\int_0^{\upsilon_{max}}(\upsilon' - \upsilon)d \upsilon' = \int_0^\infty \frac{1}{2} I_0^2 x^2 L\frac{dl}{l^2}$$ | ||
| Получаем квадратное уравнение: | Получаем квадратное уравнение: | ||
| $$\frac{1}{2}\upsilon_{max}^2 - \upsilon \upsilon_{max} - \frac{1}{2} I_0^2 xL = 0$$ | $$\frac{1}{2}\upsilon_{max}^2 - \upsilon \upsilon_{max} - \frac{1}{2} I_0^2 xL = 0$$ | ||
| И находим ответ: | И находим ответ: | ||
| @@ -26,5 +28,4 @@Решение | |||
| $$\upsilon_{max} = \upsilon(1 + \sqrt{1 + \frac{I_0^2 x L}{m \upsilon^2}})$$ | $$\upsilon_{max} = \upsilon(1 + \sqrt{1 + \frac{I_0^2 x L}{m \upsilon^2}})$$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$\upsilon_{max} = \upsilon(1 + \sqrt{1 + \frac{I_0^2 x L}{m \upsilon^2}})$$ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | |||