| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $11.5.25.$ Между двумясвехпроводящими шинами с постоянной скоростью $v_0$ движется поршень по направлению к перемычке массы $m$, образуя сверхпро- | | $11.5.25.$ Между двумясвехпроводящими шинами с постоянной скоростью $v_0$ движется поршень по направлению к перемычке массы $m$, образуя сверхпро- |
| водящую цепь. Найдите максимальную скорость перемычки, если в начальный момент она покоилась, ток в цепи был равен $I_0$, а расстояние между поршнем и | | водящую цепь. Найдите максимальную скорость перемычки, если в начальный момент она покоилась, ток в цепи был равен $I_0$, а расстояние между поршнем и |
| перемычкой было равно $x$. Индуктивность на единицу длины шин $L$. Трением пренебречь. | | перемычкой было равно $x$. Индуктивность на единицу длины шин $L$. Трением пренебречь. |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Из закона сохранения магнитного потока: | | Из закона сохранения магнитного потока: |
| $$LxI_0 = Ll I$$ | | $$LxI_0 = Ll I$$ |
| $$I = I_0 \frac{x}{l}$$ | | $$I = I_0 \frac{x}{l}$$ |
| Сила, действующая на пластинку: | | Сила, действующая на пластинку: |
| $$m \frac{d \upsilon'}{dt} = \frac{\partial U}{\partial l}$$ | | $$m \frac{d \upsilon'}{dt} = \frac{\partial U}{\partial l}$$ |
| Производная энергии магнитного поля по расстоянию равна: | | Производная энергии магнитного поля по расстоянию равна: |
| $$\frac{\partial U}{\partial l} = \frac{1}{2} I^2 \mathcal {L}$$ | | $$\frac{\partial U}{\partial l} = \frac{1}{2} I^2 \mathcal {L}$$ |
| $$\mathcal {L} = Ll$$ | | $$\mathcal {L} = Ll$$ |
| $$\frac{\partial U}{\partial l} = \frac{1}{2} I^2 L$$ | | $$\frac{\partial U}{\partial l} = \frac{1}{2} I^2 L$$ |
| Подставим выражения для силы тока: | | Подставим выражения для силы тока: |
| $$\frac{\partial U}{\partial l} = \frac{1}{2} I_0^2 x^2 L\frac{1}{l^2}$$ | | $$\frac{\partial U}{\partial l} = \frac{1}{2} I_0^2 x^2 L\frac{1}{l^2}$$ |
| Теперь вернемся к левой части 2-го закона Ньютона: | | Теперь вернемся к левой части 2-го закона Ньютона: |
| @@ -21,11 +21,11 @@Решение |
| $$m \frac {d \upsilon'}{d t} = m \frac {d \upsilon'}{d l}\frac {d l}{d t}$$ |
| $$m \frac {d \upsilon'}{d t} = m \frac {d \upsilon'}{d l}\frac {d l}{d t}$$ |
| $$m \frac {d \upsilon'}{d t} = m \frac {d \upsilon'}{d l}(\upsilon' - \upsilon)$$ |
| $$m \frac {d \upsilon'}{d t} = m \frac {d \upsilon'}{d l}(\upsilon' - \upsilon)$$ |
| Вернемся к началу, подставим все значения и проинтегрируем: |
| Вернемся к началу, подставим все значения и проинтегрируем: |
| $$\int_0^{\upsilon_{max}}(\upsilon' - \upsilon)d \upsilon' = \int_0^\infty \frac{1}{2} I_0^2 x^2 L\frac{dl}{l^2}$$ |
| $$m\int_0^{\upsilon_{max}}(\upsilon' - \upsilon)d \upsilon' = \int_0^\infty \frac{1}{2} I_0^2 x^2 L\frac{dl}{l^2}$$ |
| Получаем квадратное уравнение: |
| Получаем квадратное уравнение: |
| $$\frac{1}{2}\upsilon_{max}^2 - \upsilon \upsilon_{max} - \frac{1}{2} I_0^2 xL = 0$$ |
| $$\frac{1}{2}\upsilon_{max}^2 - \upsilon \upsilon_{max} - \frac{1}{2m} I_0^2 xL = 0$$ |
| И находим ответ: |
| И находим ответ: |
| $$\upsilon_{max} = \upsilon(1 + \sqrt{1 + \frac{I_0^2 x L}{m \upsilon^2}})$$ |
| $$\upsilon_{max} = \upsilon(1 + \sqrt{1 + \frac{I_0^2 x L}{m \upsilon^2}})$$ |
| |
| |
| #### Ответ |
| #### Ответ |
| $$\upsilon_{max} = \upsilon(1 + \sqrt{1 + \frac{I_0^2 x L}{m \upsilon^2}})$$ |
| $$\upsilon_{max} = \upsilon(1 + \sqrt{1 + \frac{I_0^2 x L}{m \upsilon^2}})$$ |
