Edit to “Решение”

igor edited Jul 13, 2026, 7:57 AM

View solution History

revision #19643 parent #19642 ← older newer →

ru/3.8.6.md +1 −1

			### Условие

			$3.8.6.$ Скорость незакрепленного конца стержня из-за прихода волны продольного смещения с нулевого момента времени стала меняться по закону $v = v_0\sin\omega t$. Какова амплитуда смещения? На каких расстояниях от конца стержня образуются узлы и пучности скорости? узлы и пучности давления?


			### Решение

			Эта задача есть в общем видоизменение задачи $3.8.4$ на случай свободного конца среды.

			Решим эту задачу как ту, так как много совпадений вопросов.

			Считаем конец свободным (называем его границей) и используем прием задачи $3.8.5$ для нахождения результирующей волны после отражения основной падающей волны от свободной границы.

			Получается, что можно считать, что к границе двигается синусоидальная волна падающая, а с другой стороны к границе двигается мнимая волна тоже синусоидальная, как бы отраженная относительно плоскости стены.

			Вот рисунок, граница в $x=0$ совпадает с осью $y$, по которой читаем значения смещений волн.

			![\|1705x766, 50%](../../img/3.8.6/386Ñ.png)

			Тут к границе слева движется реальная падающая, к границе справа движется мнимая. Они слева от границы в сумме дают результрующую волну.

			Смещение в падающей волне слева направо описывается

			$$
			y=A\sin\left(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x\right);
			$$

			если что: смещение $y$ происходит вдоль направления распространения волны.

		@@ -30,7 +30,7 @@Решение
			Смещение в мнимой волне справа налево описывается

			$$
		−	y'=A\sin\left(\omega t\frac{2\pi}{\lambda}x\right).
		+	y'=A\sin\left(\omega t+\frac{2\pi}{\lambda}x\right).
			$$

			Далее используется учебник Иродова «Волновые процессы». Находим наложение смещений

			$$
			Y=y+y'=2A\sin\omega t\cos\left(-kx\right),
			$$

			где $k=2\pi/\lambda$ (использовали тригонометрию).

			Скорость среды

			$$
			u=\dot Y=2\omega A\cos\omega t\cos\left(-kx\right).\tag{1}
			$$

			Относительное удлинение среды

			$$
			\varepsilon=\frac{\partial Y}{\partial x}=2kA\sin\omega t\sin\left(-kx\right).
			$$

			Изменение давления (приращение давления и относительное удлинение противоположны по знаку)

			$$
			\Delta P=-E\varepsilon=-\rho c^2\cdot2\frac{2\pi}{\lambda}A\sin\omega t\sin\left(-kx\right),
			$$

			что можно упростить до

			$$
			\Delta P=-2\rho c\omega A\sin\omega t\sin\left(-kx\right),\tag{2}
			$$

			На плоскости границы $x=0$ это дает

			$$
			\boxed{\Delta P^*=0.}
			$$

			Откуда видно, что узлы изменения давления (нули) $(2)$ будут на расстояниях $\dfrac{\lambda}{2}k$, где $k$ есть целое. Пучности (максимальные максимумы) получаем на расстояниях $\dfrac{\lambda}{4}+\dfrac{\lambda}{2}k$, аналогично.

			Узлы скорости (нули) $(1)$ будут на расстояниях $\dfrac{\lambda}{4}+\dfrac{\lambda}{2}k$, где $k$ есть целое. Пучности (максимальные максимумы) получаем на расстояниях $\dfrac{\lambda}{2}k$, аналогично.

			Длина волны $\lambda = 2\pi c/\omega$. Рисунки в ответе.

			Амплитуду смещения найдем из $(1)$. На границе $x=0$ из этого уравнения

			$$
			u^*=2\omega A\cos\omega t,
			$$

			что смещением начала отсчета времени можно сделать

			$$
			u^*=2\omega A\sin\omega t.
			$$

			По условию

			$$
			u^*= v_0\sin\omega t,
			$$

			откуда, сопоставив две предыдущие формулы

			$$
			A=\frac{v_0}{2\omega}.
			$$


			#### Литература

			[1] Иродов И.Е. Волновые процессы. 2015.

			[2] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.)

			[3] Сивухин. Д.В. Электричество. 1979. (Колебания и волны.)

			[4] М.А. Исакович. Общая акустика. 1973. Параграф 41.


			#### Ответ

			$A = v_0/2\omega$. На конце стержня — пучность скорости и узел давления. Первый узел скорости отстоит от конца стержня на расстоянии $\lambda/4$ (см. рис.).

			![\|602x774, 50%](../../img/3.8.6/386ans.png)
		unchanged lines 84