Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/13.2.12.md
+3 −3
| @@ -1,6 +1,6 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $13.2.12.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $13.2.12.$ Показатель преломления атмосферы планеты уменьшается с высотой h над ее поверхностью по закону $n=n_0−αh$ при $h\ll n/α$. Радиус планеты R. Найдите, на какой высоте над поверхностью планеты луч, испущенный горизонтально, будет обходить планету, оставаясь все время на этой высоте. | ||
| ### Решение | |||
|  | |||
| 0) $H$ — искомая высота. | |||
| 1) Рассмотрим пучок шириной $dh$. Лучи на высоте $H$ и $H-dh$ принадлежат одному волновому фронту, а значит, оптические длины их путей должны быть равны. | |||
| 2) Показатели преломления на высотах $H$ и $H-dh$: | |||
| \[ | |||
| n_1 = n_0 - \alpha H, \qquad n_2 = n_0 - \alpha(H-dh) | |||
| \] | |||
| 3) Оптические пути: | |||
| \[ | |||
| l_1 = n_1 (R+H)\,\Delta\beta, \qquad l_2 = n_2 (R+H-\Delta h)\,\Delta\beta | |||
| \] | |||
| Из равенства $l_1 = l_2$: | |||
| \[ | |||
| (n_0-\alpha H)(R+H)\Delta\beta = \big(n_0-\alpha(H-dh)\big)(R+H-dh)\Delta\beta | |||
| \] | |||
| Пренебрегаем членом $\alpha dh^2$ как величиной второго порядка малости: | |||
| \[ | |||
| @@ -30,7 +30,7 @@Решение | |||
| n_0 dh= \alpha R dh + 2\alpha H dh | |||
| \] | |||
| − | Сокращая на $ | ||
| + | Сокращая на $dh$: | ||
| \[ | |||
| n_0 = \alpha R + 2\alpha H | |||
| \] | |||
| \[ | |||
| \boxed{H = \frac{n_0 - \alpha R}{2\alpha} = \frac{1}{2}\left(\frac{n_0}{\alpha} - R\right)} | |||
| \] | |||
| @@ -41,4 +41,4 @@Решение | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $H = \frac{1}{2}\left(\frac{n_0}{\alpha} - R\right)$ | ||
| @@ -1,6 +1,6 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $13.2.12.$ [Вставьте условие задачи] | $13.2.12.$ Показатель преломления атмосферы планеты уменьшается с высотой h над ее поверхностью по закону $n=n_0−αh$ при $h\ll n/α$. Радиус планеты R. Найдите, на какой высоте над поверхностью планеты луч, испущенный горизонтально, будет обходить планету, оставаясь все время на этой высоте. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
|  |  | ||
| 0) $H$ — искомая высота. | 0) $H$ — искомая высота. | ||
| 1) Рассмотрим пучок шириной $dh$. Лучи на высоте $H$ и $H-dh$ принадлежат одному волновому фронту, а значит, оптические длины их путей должны быть равны. | 1) Рассмотрим пучок шириной $dh$. Лучи на высоте $H$ и $H-dh$ принадлежат одному волновому фронту, а значит, оптические длины их путей должны быть равны. | ||
| 2) Показатели преломления на высотах $H$ и $H-dh$: | 2) Показатели преломления на высотах $H$ и $H-dh$: | ||
| \[ | \[ | ||
| n_1 = n_0 - \alpha H, \qquad n_2 = n_0 - \alpha(H-dh) | n_1 = n_0 - \alpha H, \qquad n_2 = n_0 - \alpha(H-dh) | ||
| \] | \] | ||
| 3) Оптические пути: | 3) Оптические пути: | ||
| \[ | \[ | ||
| l_1 = n_1 (R+H)\,\Delta\beta, \qquad l_2 = n_2 (R+H-\Delta h)\,\Delta\beta | l_1 = n_1 (R+H)\,\Delta\beta, \qquad l_2 = n_2 (R+H-\Delta h)\,\Delta\beta | ||
| \] | \] | ||
| Из равенства $l_1 = l_2$: | Из равенства $l_1 = l_2$: | ||
| \[ | \[ | ||
| (n_0-\alpha H)(R+H)\Delta\beta = \big(n_0-\alpha(H-dh)\big)(R+H-dh)\Delta\beta | (n_0-\alpha H)(R+H)\Delta\beta = \big(n_0-\alpha(H-dh)\big)(R+H-dh)\Delta\beta | ||
| \] | \] | ||
| Пренебрегаем членом $\alpha dh^2$ как величиной второго порядка малости: | Пренебрегаем членом $\alpha dh^2$ как величиной второго порядка малости: | ||
| \[ | \[ | ||
| @@ -30,7 +30,7 @@Решение | |||
| n_0 dh= \alpha R dh + 2\alpha H dh | n_0 dh= \alpha R dh + 2\alpha H dh | ||
| \] | \] | ||
| Сокращая на $ |
Сокращая на $dh$: | ||
| \[ | \[ | ||
| n_0 = \alpha R + 2\alpha H | n_0 = \alpha R + 2\alpha H | ||
| \] | \] | ||
| \[ | \[ | ||
| \boxed{H = \frac{n_0 - \alpha R}{2\alpha} = \frac{1}{2}\left(\frac{n_0}{\alpha} - R\right)} | \boxed{H = \frac{n_0 - \alpha R}{2\alpha} = \frac{1}{2}\left(\frac{n_0}{\alpha} - R\right)} | ||
| \] | \] | ||
| @@ -41,4 +41,4 @@Решение | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $H = \frac{1}{2}\left(\frac{n_0}{\alpha} - R\right)$ | ||