Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

Read1ly правка от 22 июл. 2026 г., 12:42

правка #19664 предыдущая #19663 ← раньше

ru/13.2.12.md +3 −3

		@@ -1,6 +1,6 @@
			### Условие

		−	$13.2.12.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$13.2.12.$ Показатель преломления атмосферы планеты уменьшается с высотой h над ее поверхностью по закону $n=n_0−αh$ при $h\ll n/α$. Радиус планеты R. Найдите, на какой высоте над поверхностью планеты луч, испущенный горизонтально, будет обходить планету, оставаясь все время на этой высоте.

			### Решение

			![К задаче $13.2.12$ \|1254x1254, 31%](../../img/13.2.12/13.2.12.png)

			0) $H$ — искомая высота.

			1) Рассмотрим пучок шириной $dh$. Лучи на высоте $H$ и $H-dh$ принадлежат одному волновому фронту, а значит, оптические длины их путей должны быть равны.

			2) Показатели преломления на высотах $H$ и $H-dh$:
			\[
			n_1 = n_0 - \alpha H, \qquad n_2 = n_0 - \alpha(H-dh)
			\]

			3) Оптические пути:
			\[
			l_1 = n_1 (R+H)\,\Delta\beta, \qquad l_2 = n_2 (R+H-\Delta h)\,\Delta\beta
			\]

			Из равенства $l_1 = l_2$:
			\[
			(n_0-\alpha H)(R+H)\Delta\beta = \big(n_0-\alpha(H-dh)\big)(R+H-dh)\Delta\beta
			\]

			Пренебрегаем членом $\alpha dh^2$ как величиной второго порядка малости:
			\[
		@@ -30,7 +30,7 @@Решение
			n_0 dh= \alpha R dh + 2\alpha H dh
			\]

		−	Сокращая на $~~\Delta~~ h$:
		+	Сокращая на $dh$:
			\[
			n_0 = \alpha R + 2\alpha H
			\]

			\[
			\boxed{H = \frac{n_0 - \alpha R}{2\alpha} = \frac{1}{2}\left(\frac{n_0}{\alpha} - R\right)}
			\]
		@@ -41,4 +41,4 @@Решение

			#### Ответ

		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	$H = \frac{1}{2}\left(\frac{n_0}{\alpha} - R\right)$

	@@ -1,6 +1,6 @@
	### Условие		### Условие

	$13.2.12.$ [Вставьте условие задачи]		$13.2.12.$ Показатель преломления атмосферы планеты уменьшается с высотой h над ее поверхностью по закону $n=n_0−αh$ при $h\ll n/α$. Радиус планеты R. Найдите, на какой высоте над поверхностью планеты луч, испущенный горизонтально, будет обходить планету, оставаясь все время на этой высоте.

	### Решение		### Решение

	![К задаче $13.2.12$ \|1254x1254, 31%](../../img/13.2.12/13.2.12.png)		![К задаче $13.2.12$ \|1254x1254, 31%](../../img/13.2.12/13.2.12.png)

	0) $H$ — искомая высота.		0) $H$ — искомая высота.

	1) Рассмотрим пучок шириной $dh$. Лучи на высоте $H$ и $H-dh$ принадлежат одному волновому фронту, а значит, оптические длины их путей должны быть равны.		1) Рассмотрим пучок шириной $dh$. Лучи на высоте $H$ и $H-dh$ принадлежат одному волновому фронту, а значит, оптические длины их путей должны быть равны.

	2) Показатели преломления на высотах $H$ и $H-dh$:		2) Показатели преломления на высотах $H$ и $H-dh$:
	\[		\[
	n_1 = n_0 - \alpha H, \qquad n_2 = n_0 - \alpha(H-dh)		n_1 = n_0 - \alpha H, \qquad n_2 = n_0 - \alpha(H-dh)
	\]		\]

	3) Оптические пути:		3) Оптические пути:
	\[		\[
	l_1 = n_1 (R+H)\,\Delta\beta, \qquad l_2 = n_2 (R+H-\Delta h)\,\Delta\beta		l_1 = n_1 (R+H)\,\Delta\beta, \qquad l_2 = n_2 (R+H-\Delta h)\,\Delta\beta
	\]		\]

	Из равенства $l_1 = l_2$:		Из равенства $l_1 = l_2$:
	\[		\[
	(n_0-\alpha H)(R+H)\Delta\beta = \big(n_0-\alpha(H-dh)\big)(R+H-dh)\Delta\beta		(n_0-\alpha H)(R+H)\Delta\beta = \big(n_0-\alpha(H-dh)\big)(R+H-dh)\Delta\beta
	\]		\]

	Пренебрегаем членом $\alpha dh^2$ как величиной второго порядка малости:		Пренебрегаем членом $\alpha dh^2$ как величиной второго порядка малости:
	\[		\[
	@@ -30,7 +30,7 @@Решение
	n_0 dh= \alpha R dh + 2\alpha H dh		n_0 dh= \alpha R dh + 2\alpha H dh
	\]		\]

	Сокращая на $~~\Delta~~ h$:		Сокращая на $dh$:
	\[		\[
	n_0 = \alpha R + 2\alpha H		n_0 = \alpha R + 2\alpha H
	\]		\]

	\[		\[
	\boxed{H = \frac{n_0 - \alpha R}{2\alpha} = \frac{1}{2}\left(\frac{n_0}{\alpha} - R\right)}		\boxed{H = \frac{n_0 - \alpha R}{2\alpha} = \frac{1}{2}\left(\frac{n_0}{\alpha} - R\right)}
	\]		\]
	@@ -41,4 +41,4 @@Решение

	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		$H = \frac{1}{2}\left(\frac{n_0}{\alpha} - R\right)$