Edits to “Условие”, “Решение”, “Литература”

igor edited Jul 23, 2026, 12:09 PM

View solution History

revision #19677 parent #19674 ← older

ru/3.9.7.md +46 −3

		@@ -1,11 +1,54 @@
			### Условие

		−	$3.9.7.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$3.9.7.$ Шарик радиуса $R$ совершает гармонические радиальные колебания («дышит») с частотой $\omega$ и амплитудой $A$ в жидкости, плотность которой $\rho$. С какой в среднем за период энергией излучается волна? Как меняется амплитуда колебаний давления жидкости по мере удаления от шарика, если скорость волны в жидкости равна $c$? Считать $A\ll R$.

		+
			### Решение

		−	123
		+	Считаем, что Савченко в первом вопросе имеет в виду среднюю мощность (говорят еще поток).

		+	Среднюю за период мощность излучения найдем через интенсивность. Интенсивность есть среднее по времени значение плотности потока энергии (поверхностной плотности). Для волны одной частоты интенсивность равна
		+
		+	$$
		+	I=\frac{1}{2}\rho\omega^2A^2c,
		+	$$
		+
		+	где $\rho$ есть плотность среды, $A,\omega,c$ есть амплитуда смещения, угловая частота, скорость распространения волны.
		+
		+	То есть интенсивность у поверхности шара известна. Средняя за период мощность излучения через сферу, почти лежащую на шаре, равна по определению $E=I\cdot S$ (учитывая сферическую симметрию) в такой записи
		+
		+	$$
		+	\boxed{E=I\cdot4\pi R^2=2\pi R^2\omega^2A^2\rho c.}
		+	$$
		+
		+	Видится простым делом как-то связать амплитуду изменения давления $\Delta P_\text{m}$ с интенсивностью. Это было сделано в задаче $3.9.5$.
		+
		+	$$
		+	\Delta P_\text{m}=\sqrt{2\rho cI},
		+	$$
		+
		+	что с учетом определения $I=E/S=E/\left(4\pi r^2\right)$ по сферической симметрии ($r$ есть расстояние от центра шара) дает
		+
		+	$$
		+	\Delta P_\text{m}=\sqrt{\rho c\frac{E}{2\pi}}\cdot\frac{1}{r}.
		+	$$
		+
		+	Выражение под корнем есть постоянная величина (мощность излучения через каждую сферу радиуса $r$ одна и та же по непрерывности).
		+
		+	Так что амплитуда изменения давления в волне обратно пропорциональна расстоянию до центра шара.
		+
		+
		+	#### Литература
		+
		+	[1] Иродов И.Е. Волновые процессы. 2015.
		+
		+	[2] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.)
		+
		+
			#### Ответ

		−	~~[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]~~
		+	$$
		+	E=I\cdot4\pi R^2=2\pi R^2\omega^2A^2\rho c.
		+	$$
		+
		+	Амплитуда изменения давления в волне обратно пропорциональна расстоянию до центра шара.

	@@ -1,11 +1,54 @@
	### Условие		### Условие

	$3.9.7.$ [Вставьте условие задачи]		$3.9.7.$ Шарик радиуса $R$ совершает гармонические радиальные колебания («дышит») с частотой $\omega$ и амплитудой $A$ в жидкости, плотность которой $\rho$. С какой в среднем за период энергией излучается волна? Как меняется амплитуда колебаний давления жидкости по мере удаления от шарика, если скорость волны в жидкости равна $c$? Считать $A\ll R$.


	### Решение		### Решение

	123		Считаем, что Савченко в первом вопросе имеет в виду среднюю мощность (говорят еще поток).

			Среднюю за период мощность излучения найдем через интенсивность. Интенсивность есть среднее по времени значение плотности потока энергии (поверхностной плотности). Для волны одной частоты интенсивность равна

			$$
			I=\frac{1}{2}\rho\omega^2A^2c,
			$$

			где $\rho$ есть плотность среды, $A,\omega,c$ есть амплитуда смещения, угловая частота, скорость распространения волны.

			То есть интенсивность у поверхности шара известна. Средняя за период мощность излучения через сферу, почти лежащую на шаре, равна по определению $E=I\cdot S$ (учитывая сферическую симметрию) в такой записи

			$$
			\boxed{E=I\cdot4\pi R^2=2\pi R^2\omega^2A^2\rho c.}
			$$

			Видится простым делом как-то связать амплитуду изменения давления $\Delta P_\text{m}$ с интенсивностью. Это было сделано в задаче $3.9.5$.

			$$
			\Delta P_\text{m}=\sqrt{2\rho cI},
			$$

			что с учетом определения $I=E/S=E/\left(4\pi r^2\right)$ по сферической симметрии ($r$ есть расстояние от центра шара) дает

			$$
			\Delta P_\text{m}=\sqrt{\rho c\frac{E}{2\pi}}\cdot\frac{1}{r}.
			$$

			Выражение под корнем есть постоянная величина (мощность излучения через каждую сферу радиуса $r$ одна и та же по непрерывности).

			Так что амплитуда изменения давления в волне обратно пропорциональна расстоянию до центра шара.


			#### Литература

			[1] Иродов И.Е. Волновые процессы. 2015.

			[2] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.)


	#### Ответ		#### Ответ

	~~[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]~~		$$
			E=I\cdot4\pi R^2=2\pi R^2\omega^2A^2\rho c.
			$$

			Амплитуда изменения давления в волне обратно пропорциональна расстоянию до центра шара.