ru/13.2.22.md
+0 −52
| @@ -1,52 +0,0 @@ | |||
| − | ### Условие | ||
| − | |||
| − | $13.2.22.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| − | |||
| − | ### Решение | ||
| − | |||
| − |  | ||
| − | |||
| − | Поскольку колба тонкостенная, преломлением луча в стекле можно пренебречь: свет фактически преломляется один раз --- на границе жидкость--полость колбы (внутри колбы будем считать среду воздухом, $n_{\text{возд}}\approx 1$). Радиус пучка $R_0$ много меньше радиуса колбы $R$, поэтому все углы, возникающие в задаче, малы, и можно всюду заменять синусы и тангенсы самими углами (параксиальное приближение). Задача сводится к тому, чтобы (а) связать угол преломления $\beta$ с углом падения $\alpha$ через закон Снелла, и (б) отдельно связать эти же углы через геометрию распространения луча внутри колбы, используя данное в условии удвоение диаметра пучка. | ||
| − | |||
| − | \textbf{1. Угол падения луча на входе.} | ||
| − | Рассмотрим крайний луч пучка, идущий на расстоянии $R_0$ от оптической оси. Он попадает на сферу в точке $A$, где радиус $OA$ (нормаль к поверхности) составляет с осью малый угол $\alpha$: | ||
| − | \[ | ||
| − | \sin\alpha = \frac{R_0}{R} \;\;\Longrightarrow\;\; \alpha \approx \frac{R_0}{R}. | ||
| − | \] | ||
| − | |||
| − | \textbf{2. Закон преломления на границе жидкость--воздух.} | ||
| − | На входе луч переходит из жидкости (показатель преломления $n$) в полость колбы (воздух, показатель преломления $\approx 1$): | ||
| − | \[ | ||
| − | n\sin\alpha = \sin\beta \;\;\Longrightarrow\;\; n\alpha \approx \beta, | ||
| − | \] | ||
| − | где $\beta$ --- угол между преломлённым лучом и радиусом $OA$. | ||
| − | |||
| − | \textbf{3. Геометрия луча внутри колбы.} | ||
| − | Введём систему координат с началом в центре колбы $O$; ось $x$ направим вдоль оптической оси пучка. В параксиальном приближении точка входа $A \approx (-R,\, R_0)=(-R,\,R\alpha)$. | ||
| − | |||
| − | Нормаль $OA$ образует с осью угол $\alpha$, а преломлённый луч образует с той же нормалью угол $\beta$ (причём $\beta>\alpha$, так как $n>1$: луч отклоняется от нормали при переходе в менее плотную среду). Несложно показать, что при этом направление преломлённого луча составляет с оптической осью угол | ||
| − | \[ | ||
| − | \gamma = \beta-\alpha | ||
| − | \] | ||
| − | (луч отклоняется от оси на этот угол наружу --- это тот же эффект, что даёт, например, пузырёк воздуха в воде, действующий как рассеивающая линза). | ||
| − | |||
| − | Пройдя внутри колбы путь, горизонтальная проекция которого в параксиальном приближении равна $\approx 2R$ (от одной стороны сферы до другой), луч поднимется на дополнительную высоту $2R\gamma = 2R(\beta-\alpha)$. Высота луча у противоположной стенки колбы: | ||
| − | \[ | ||
| − | y_B = R_0 + 2R(\beta-\alpha) = R\alpha + 2R(\beta-\alpha) = R(2\beta-\alpha). | ||
| − | \] | ||
| − | |||
| − | \textbf{4. Условие удвоения диаметра пучка.} | ||
| − | По условию высота луча у противоположной стенки должна равняться $2R_0=2R\alpha$: | ||
| − | \[ | ||
| − | R(2\beta-\alpha) = 2R\alpha \;\;\Longrightarrow\;\; 2\beta-\alpha=2\alpha \;\;\Longrightarrow\;\; 2\beta=3\alpha \;\;\Longrightarrow\;\; \beta = 1{,}5\,\alpha. | ||
| − | \] | ||
| − | |||
| − | \textbf{5. Показатель преломления жидкости.} | ||
| − | Сопоставляя с законом преломления $n\alpha=\beta$ из пункта 2: | ||
| − | \[ | ||
| − | n = \frac{\beta}{\alpha} = 1{,}5. | ||
| − | \] | ||
| − | |||
| − | #### Ответ | ||
| − | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| @@ -1,52 +0,0 @@ | |||
| ### Условие | |||
| $13.2.22.$ [Вставьте условие задачи] | |||
| ### Решение | |||
|  | |||
| Поскольку колба тонкостенная, преломлением луча в стекле можно пренебречь: свет фактически преломляется один раз --- на границе жидкость--полость колбы (внутри колбы будем считать среду воздухом, $n_{\text{возд}}\approx 1$). Радиус пучка $R_0$ много меньше радиуса колбы $R$, поэтому все углы, возникающие в задаче, малы, и можно всюду заменять синусы и тангенсы самими углами (параксиальное приближение). Задача сводится к тому, чтобы (а) связать угол преломления $\beta$ с углом падения $\alpha$ через закон Снелла, и (б) отдельно связать эти же углы через геометрию распространения луча внутри колбы, используя данное в условии удвоение диаметра пучка. | |||
| \textbf{1. Угол падения луча на входе.} | |||
| Рассмотрим крайний луч пучка, идущий на расстоянии $R_0$ от оптической оси. Он попадает на сферу в точке $A$, где радиус $OA$ (нормаль к поверхности) составляет с осью малый угол $\alpha$: | |||
| \[ | |||
| \sin\alpha = \frac{R_0}{R} \;\;\Longrightarrow\;\; \alpha \approx \frac{R_0}{R}. | |||
| \] | |||
| \textbf{2. Закон преломления на границе жидкость--воздух.} | |||
| На входе луч переходит из жидкости (показатель преломления $n$) в полость колбы (воздух, показатель преломления $\approx 1$): | |||
| \[ | |||
| n\sin\alpha = \sin\beta \;\;\Longrightarrow\;\; n\alpha \approx \beta, | |||
| \] | |||
| где $\beta$ --- угол между преломлённым лучом и радиусом $OA$. | |||
| \textbf{3. Геометрия луча внутри колбы.} | |||
| Введём систему координат с началом в центре колбы $O$; ось $x$ направим вдоль оптической оси пучка. В параксиальном приближении точка входа $A \approx (-R,\, R_0)=(-R,\,R\alpha)$. | |||
| Нормаль $OA$ образует с осью угол $\alpha$, а преломлённый луч образует с той же нормалью угол $\beta$ (причём $\beta>\alpha$, так как $n>1$: луч отклоняется от нормали при переходе в менее плотную среду). Несложно показать, что при этом направление преломлённого луча составляет с оптической осью угол | |||
| \[ | |||
| \gamma = \beta-\alpha | |||
| \] | |||
| (луч отклоняется от оси на этот угол наружу --- это тот же эффект, что даёт, например, пузырёк воздуха в воде, действующий как рассеивающая линза). | |||
| Пройдя внутри колбы путь, горизонтальная проекция которого в параксиальном приближении равна $\approx 2R$ (от одной стороны сферы до другой), луч поднимется на дополнительную высоту $2R\gamma = 2R(\beta-\alpha)$. Высота луча у противоположной стенки колбы: | |||
| \[ | |||
| y_B = R_0 + 2R(\beta-\alpha) = R\alpha + 2R(\beta-\alpha) = R(2\beta-\alpha). | |||
| \] | |||
| \textbf{4. Условие удвоения диаметра пучка.} | |||
| По условию высота луча у противоположной стенки должна равняться $2R_0=2R\alpha$: | |||
| \[ | |||
| R(2\beta-\alpha) = 2R\alpha \;\;\Longrightarrow\;\; 2\beta-\alpha=2\alpha \;\;\Longrightarrow\;\; 2\beta=3\alpha \;\;\Longrightarrow\;\; \beta = 1{,}5\,\alpha. | |||
| \] | |||
| \textbf{5. Показатель преломления жидкости.} | |||
| Сопоставляя с законом преломления $n\alpha=\beta$ из пункта 2: | |||
| \[ | |||
| n = \frac{\beta}{\alpha} = 1{,}5. | |||
| \] | |||
| #### Ответ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | |||