New solution

Valter edited
View solution History
revision #19712 newer →
ru/3.4.16.md +67 −0
@@ -0,0 +1,67 @@
+### Условие
+
+$3.4.16.$ [Вставьте условие задачи]
+
+### Решение
+
+![К задаче $3.4.16$ |2816x1536, 31%](../../img/3.4.16/Gemini_Generated_Image_suv5sksuv5sksuv5.png)
+
+\textbf{Решение:}
+
+Молекулу углекислого газа ($CO_2$) можно смоделировать как систему из трех тел: центрального атома массы $m$ (углерод) и двух крайних атомов массы $M$ (кислород), соединенных двумя одинаковыми пружинками с жесткостью $k$.
+
+\textbf{1. Переход в систему отсчета центра масс (Ц-систему)}
+
+Найдем скорость центра масс молекулы в лабораторной системе отсчета после того, как левому атому кислорода сообщили скорость $v$:
+$$ V_{cm} = \frac{Mv}{2M + m} $$
+
+Перейдем в инерциальную Ц-систему. В ней скорости атомов сразу после толчка равны:
+\begin{itemize}
+ \item Скорость левого $O$: $v_1 = v - V_{cm} = \frac{v(M+m)}{2M+m}$
+ \item Скорость центрального $C$: $v_c = 0 - V_{cm} = -\frac{Mv}{2M+m}$
+ \item Скорость правого $O$: $v_2 = 0 - V_{cm} = -\frac{Mv}{2M+m}$
+\end{itemize}
+
+\textbf{2. Разложение на нормальные моды}
+
+Представим движение системы как суперпозицию двух независимых нормальных колебаний:
+\begin{enumerate}
+ \item \textbf{Симметричная мода:} крайние атомы движутся в противофазе со скоростями $u_1$ и $-u_1$, центральный атом покоится. Циклическая частота: $\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{M}}$.
+ \item \textbf{Асимметричная мода:} крайние атомы движутся синхронно со скоростью $u_2$, центральный атом движется им навстречу со скоростью $u_c$. Циклическая частота (с учетом приведенной массы): $\omega_2 = \sqrt{\frac{k(2M+m)}{mM}}$.
+\end{enumerate}
+
+\textbf{3. Определение начальных амплитуд мод}
+
+Из принципа суперпозиции реальные начальные скорости в Ц-системе равны сумме скоростей мод:
+\begin{align*}
+ u_1 + u_2 &= \frac{v(M+m)}{2M+m} \quad \text{(для левого O)} \\
+ -u_1 + u_2 &= -\frac{Mv}{2M+m} \quad \text{(для правого O)}
+\end{align*}
+
+Вычитая уравнения, находим начальную скорость для симметричной моды:
+$$ 2u_1 = v \implies u_1 = \frac{v}{2} $$
+Складывая уравнения, находим скорость крайних атомов для асимметричной моды:
+$$ u_2 = \frac{mv}{2(2M+m)} $$
+Скорость центрального атома во второй моде равна его полной скорости в Ц-системе:
+$$ u_c = -\frac{Mv}{2M+m} $$
+
+\textbf{Амплитуда симметричной моды ($A_1$):} \\
+Скорость сближения левого атома $O$ и атома $C$ в этой моде равна $v_{rel1} = u_1 = \frac{v}{2}$.
+$$ A_1 = \frac{v_{rel1}}{\omega_1} = \frac{v}{2}\sqrt{\frac{M}{k}} $$
+
+\textbf{Амплитуда асимметричной моды ($A_2$):} \\
+Относительная скорость сближения левого атома $O$ и атома $C$ в этой моде:
+$$ v_{rel2} = u_2 - u_c = \frac{mv}{2(2M+m)} - \left(-\frac{Mv}{2M+m}\right) = \frac{v(m+2M)}{2(2M+m)} = \frac{v}{2} $$
+$$ A_2 = \frac{v_{rel2}}{\omega_2} = \frac{v}{2}\sqrt{\frac{mM}{k(2M+m)}} $$
+
+\textbf{4. Максимальное сближение}
+
+Поскольку частоты $\omega_1$ и $\omega_2$ несоизмеримы, в некоторый момент времени фазы колебаний совпадут, и амплитуды сжатия левой пружинки от обеих мод сложатся. Максимальное сближение равно сумме амплитуд:
+$$ \Delta x_{max} = A_1 + A_2 = \frac{v}{2}\sqrt{\frac{M}{k}} + \frac{v}{2}\sqrt{\frac{mM}{k(2M+m)}} $$
+
+\textbf{Ответ:}
+$$ \Delta x_{max} = \frac{v}{2}\sqrt{\frac{M}{k}} \left( 1 + \sqrt{\frac{m}{2M+m}} \right) $$
+
+#### Ответ
+
+[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]