Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

Valter edited
View solution History
revision #19714 parent #19713 ← older newer →
ru/3.4.16.md +20 −26
@@ -1,65 +1,59 @@
### Условие
−$3.4.16.$ [Вставьте условие задачи]
+$3.4.16.$ Атому кислорода в молекуле углекислого газа сообщили небольшую скорость $v$ в направлении к атому углерода. Определите, на сколько приблизится атом кислорода к атому углерода. Масса атома кислорода равна $M$, атома углерода $m$, а жесткость связи между атомами равна $k$.
### Решение
−\textbf{Решение:}
+![К задаче $3.4.16$|2816x1536, 50%](../../img/3.4.16/Gemini_Generated_Image_suv5sksuv5sksuv6.png)
+
Молекулу углекислого газа ($CO_2$) можно смоделировать как систему из трех тел: центрального атома массы $m$ (углерод) и двух крайних атомов массы $M$ (кислород), соединенных двумя одинаковыми пружинками с жесткостью $k$.
−\textbf{1. Переход в систему отсчета центра масс (Ц-систему)}
+1. Переход в систему отсчета центра масс (Ц-систему)
Найдем скорость центра масс молекулы в лабораторной системе отсчета после того, как левому атому кислорода сообщили скорость $v$:
$$ V_{cm} = \frac{Mv}{2M + m} $$
Перейдем в инерциальную Ц-систему. В ней скорости атомов сразу после толчка равны:
−\begin{itemize}
− \item Скорость левого $O$: $v_1 = v - V_{cm} = \frac{v(M+m)}{2M+m}$
− \item Скорость центрального $C$: $v_c = 0 - V_{cm} = -\frac{Mv}{2M+m}$
− \item Скорость правого $O$: $v_2 = 0 - V_{cm} = -\frac{Mv}{2M+m}$
−\end{itemize}
+- Скорость левого $O$: $v_1 = v - V_{cm} = \frac{v(M+m)}{2M+m}$
+- Скорость центрального $C$: $v_c = 0 - V_{cm} = -\frac{Mv}{2M+m}$
+- Скорость правого $O$: $v_2 = 0 - V_{cm} = -\frac{Mv}{2M+m}$
−\textbf{2. Разложение на нормальные моды}
+2. Разложение на нормальные моды
Представим движение системы как суперпозицию двух независимых нормальных колебаний:
−\begin{enumerate}
− \item \textbf{Симметричная мода:} крайние атомы движутся в противофазе со скоростями $u_1$ и $-u_1$, центральный атом покоится. Циклическая частота: $\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{M}}$.
− \item \textbf{Асимметричная мода:} крайние атомы движутся синхронно со скоростью $u_2$, центральный атом движется им навстречу со скоростью $u_c$. Циклическая частота (с учетом приведенной массы): $\omega_2 = \sqrt{\frac{k(2M+m)}{mM}}$.
−\end{enumerate}
+1) Симметричная мода: крайние атомы движутся в противофазе со скоростями $u_1$ и $-u_1$, центральный атом покоится. Циклическая частота: $\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{M}}$.
+2) Асимметричная мода: крайние атомы движутся синхронно со скоростью $u_2$, центральный атом движется им навстречу со скоростью $u_c$. Циклическая частота (с учетом приведенной массы): $\omega_2 = \sqrt{\frac{k(2M+m)}{mM}}$.
−\textbf{3. Определение начальных амплитуд мод}
+3. Определение начальных амплитуд мод
−Из принципа суперпозиции реальные начальные скорости в Ц-системе равны сумме скоростей мод:
−\begin{align*}
− u_1 + u_2 &= \frac{v(M+m)}{2M+m} \quad \text{(для левого O)} \\
− -u_1 + u_2 &= -\frac{Mv}{2M+m} \quad \text{(для правого O)}
−\end{align*}
+Из принципа суперпозиции реальные начальные скорости в Ц-системе равны сумме скоростей мод.
+Для левого O:
+$$ u_1 + u_2 = \frac{v(M+m)}{2M+m} $$
+Для правого O:
+$$ -u_1 + u_2 = -\frac{Mv}{2M+m} $$
Вычитая уравнения, находим начальную скорость для симметричной моды:
$$ 2u_1 = v \implies u_1 = \frac{v}{2} $$
Складывая уравнения, находим скорость крайних атомов для асимметричной моды:
$$ u_2 = \frac{mv}{2(2M+m)} $$
Скорость центрального атома во второй моде равна его полной скорости в Ц-системе:
$$ u_c = -\frac{Mv}{2M+m} $$
−\textbf{Амплитуда симметричной моды ($A_1$):} \\
+Амплитуда симметричной моды ($A_1$):
Скорость сближения левого атома $O$ и атома $C$ в этой моде равна $v_{rel1} = u_1 = \frac{v}{2}$.
$$ A_1 = \frac{v_{rel1}}{\omega_1} = \frac{v}{2}\sqrt{\frac{M}{k}} $$
−\textbf{Амплитуда асимметричной моды ($A_2$):} \\
+Амплитуда асимметричной моды ($A_2$):
Относительная скорость сближения левого атома $O$ и атома $C$ в этой моде:
$$ v_{rel2} = u_2 - u_c = \frac{mv}{2(2M+m)} - \left(-\frac{Mv}{2M+m}\right) = \frac{v(m+2M)}{2(2M+m)} = \frac{v}{2} $$
$$ A_2 = \frac{v_{rel2}}{\omega_2} = \frac{v}{2}\sqrt{\frac{mM}{k(2M+m)}} $$
−\textbf{4. Максимальное сближение}
+4. Максимальное сближение
Поскольку частоты $\omega_1$ и $\omega_2$ несоизмеримы, в некоторый момент времени фазы колебаний совпадут, и амплитуды сжатия левой пружинки от обеих мод сложатся. Максимальное сближение равно сумме амплитуд:
$$ \Delta x_{max} = A_1 + A_2 = \frac{v}{2}\sqrt{\frac{M}{k}} + \frac{v}{2}\sqrt{\frac{mM}{k(2M+m)}} $$
−\textbf{Ответ:}
−$$ \Delta x_{max} = \frac{v}{2}\sqrt{\frac{M}{k}} \left( 1 + \sqrt{\frac{m}{2M+m}} \right) $$
−
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$ \Delta x_{max} = \frac{v}{2}\sqrt{\frac{M}{k}} \left( 1 + \sqrt{\frac{m}{2M+m}} \right) $$