$3.4.16.$ Атому кислорода в молекуле углекислого газа сообщили небольшую скорость $v$ в направлении к атому углерода. Определите, на сколько приблизится атом кислорода к атому углерода. Масса атома кислорода равна $M$, атома углерода $m$, а жесткость связи между атомами равна $k$.
Молекулу углекислого газа ($CO_2$) можно смоделировать как систему из трех тел: центрального атома массы $m$ (углерод) и двух крайних атомов массы $M$ (кислород), соединенных двумя одинаковыми пружинками с жесткостью $k$.
1. Переход в систему отсчета центра масс (Ц-систему)
Найдем скорость центра масс молекулы в лабораторной системе отсчета после того, как левому атому кислорода сообщили скорость $v$:
$$ V_{cm} = \frac{Mv}{2M + m}$$
Перейдем в инерциальную Ц-систему. В ней скорости атомов сразу после толчка равны:
- Скорость левого $O$: $v_1 = v - V_{cm} = \frac{v(M+m)}{2M+m}$
- Скорость центрального $C$: $v_c = 0 - V_{cm} = -\frac{Mv}{2M+m}$
- Скорость правого $O$: $v_2 = 0 - V_{cm} = -\frac{Mv}{2M+m}$
@@ -21,7 +21,7 @@Решение
2. Разложение на нормальные моды
−
Представим движение системы как суперпозицию двух независимых нормальных колебаний:
+
Система из трех тел на одной прямой имеет $3$ степени свободы. Вычитая $1$ степень свободы, отвечающую за поступательное движение всей молекулы, получаем ровно $2$ внутренние степени свободы. Следовательно, любое внутреннее движение системы можно представить как суперпозицию строго двух независимых нормальных колебаний. Чтобы в каждой моде центр масс оставался неподвижным, они должны иметь следующий вид:
1) Симметричная мода: крайние атомы движутся в противофазе со скоростями $u_1$ и $-u_1$, центральный атом покоится. Циклическая частота: $\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{M}}$.
2) Асимметричная мода: крайние атомы движутся синхронно со скоростью $u_2$, центральный атом движется им навстречу со скоростью $u_c$. Циклическая частота (с учетом приведенной массы): $\omega_2 = \sqrt{\frac{k(2M+m)}{mM}}$.
3. Определение начальных амплитуд мод
Из принципа суперпозиции реальные начальные скорости в Ц-системе равны сумме скоростей мод.
Для левого O:
$$ u_1 + u_2 = \frac{v(M+m)}{2M+m}$$
Для правого O:
$$ -u_1 + u_2 = -\frac{Mv}{2M+m}$$
Вычитая уравнения, находим начальную скорость для симметричной моды:
$$ 2u_1 = v \implies u_1 = \frac{v}{2}$$
Складывая уравнения, находим скорость крайних атомов для асимметричной моды:
$$ u_2 = \frac{mv}{2(2M+m)}$$
Скорость центрального атома во второй моде равна его полной скорости в Ц-системе:
$$ u_c = -\frac{Mv}{2M+m}$$
Амплитуда симметричной моды ($A_1$):
Скорость сближения левого атома $O$ и атома $C$ в этой моде равна $v_{rel1} = u_1 = \frac{v}{2}$.
Поскольку частоты $\omega_1$ и $\omega_2$ несоизмеримы, в некоторый момент времени фазы колебаний совпадут, и амплитуды сжатия левой пружинки от обеих мод сложатся. Максимальное сближение равно сумме амплитуд:
$3.4.16.$ Атому кислорода в молекуле углекислого газа сообщили небольшую скорость $v$ в направлении к атому углерода. Определите, на сколько приблизится атом кислорода к атому углерода. Масса атома кислорода равна $M$, атома углерода $m$, а жесткость связи между атомами равна $k$.
$3.4.16.$ Атому кислорода в молекуле углекислого газа сообщили небольшую скорость $v$ в направлении к атому углерода. Определите, на сколько приблизится атом кислорода к атому углерода. Масса атома кислорода равна $M$, атома углерода $m$, а жесткость связи между атомами равна $k$.
Молекулу углекислого газа ($CO_2$) можно смоделировать как систему из трех тел: центрального атома массы $m$ (углерод) и двух крайних атомов массы $M$ (кислород), соединенных двумя одинаковыми пружинками с жесткостью $k$.
Молекулу углекислого газа ($CO_2$) можно смоделировать как систему из трех тел: центрального атома массы $m$ (углерод) и двух крайних атомов массы $M$ (кислород), соединенных двумя одинаковыми пружинками с жесткостью $k$.
1. Переход в систему отсчета центра масс (Ц-систему)
1. Переход в систему отсчета центра масс (Ц-систему)
Найдем скорость центра масс молекулы в лабораторной системе отсчета после того, как левому атому кислорода сообщили скорость $v$:
Найдем скорость центра масс молекулы в лабораторной системе отсчета после того, как левому атому кислорода сообщили скорость $v$:
$$ V_{cm} = \frac{Mv}{2M + m}$$
$$ V_{cm} = \frac{Mv}{2M + m}$$
Перейдем в инерциальную Ц-систему. В ней скорости атомов сразу после толчка равны:
Перейдем в инерциальную Ц-систему. В ней скорости атомов сразу после толчка равны:
- Скорость левого $O$: $v_1 = v - V_{cm} = \frac{v(M+m)}{2M+m}$
- Скорость левого $O$: $v_1 = v - V_{cm} = \frac{v(M+m)}{2M+m}$
- Скорость центрального $C$: $v_c = 0 - V_{cm} = -\frac{Mv}{2M+m}$
- Скорость центрального $C$: $v_c = 0 - V_{cm} = -\frac{Mv}{2M+m}$
- Скорость правого $O$: $v_2 = 0 - V_{cm} = -\frac{Mv}{2M+m}$
- Скорость правого $O$: $v_2 = 0 - V_{cm} = -\frac{Mv}{2M+m}$
@@ -21,7 +21,7 @@Решение
2. Разложение на нормальные моды
2. Разложение на нормальные моды
Представим движение системы как суперпозицию двух независимых нормальных колебаний:
Система из трех тел на одной прямой имеет $3$ степени свободы. Вычитая $1$ степень свободы, отвечающую за поступательное движение всей молекулы, получаем ровно $2$ внутренние степени свободы. Следовательно, любое внутреннее движение системы можно представить как суперпозицию строго двух независимых нормальных колебаний. Чтобы в каждой моде центр масс оставался неподвижным, они должны иметь следующий вид:
1) Симметричная мода: крайние атомы движутся в противофазе со скоростями $u_1$ и $-u_1$, центральный атом покоится. Циклическая частота: $\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{M}}$.
1) Симметричная мода: крайние атомы движутся в противофазе со скоростями $u_1$ и $-u_1$, центральный атом покоится. Циклическая частота: $\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{M}}$.
2) Асимметричная мода: крайние атомы движутся синхронно со скоростью $u_2$, центральный атом движется им навстречу со скоростью $u_c$. Циклическая частота (с учетом приведенной массы): $\omega_2 = \sqrt{\frac{k(2M+m)}{mM}}$.
2) Асимметричная мода: крайние атомы движутся синхронно со скоростью $u_2$, центральный атом движется им навстречу со скоростью $u_c$. Циклическая частота (с учетом приведенной массы): $\omega_2 = \sqrt{\frac{k(2M+m)}{mM}}$.
3. Определение начальных амплитуд мод
3. Определение начальных амплитуд мод
Из принципа суперпозиции реальные начальные скорости в Ц-системе равны сумме скоростей мод.
Из принципа суперпозиции реальные начальные скорости в Ц-системе равны сумме скоростей мод.
Для левого O:
Для левого O:
$$ u_1 + u_2 = \frac{v(M+m)}{2M+m}$$
$$ u_1 + u_2 = \frac{v(M+m)}{2M+m}$$
Для правого O:
Для правого O:
$$ -u_1 + u_2 = -\frac{Mv}{2M+m}$$
$$ -u_1 + u_2 = -\frac{Mv}{2M+m}$$
Вычитая уравнения, находим начальную скорость для симметричной моды:
Вычитая уравнения, находим начальную скорость для симметричной моды:
$$ 2u_1 = v \implies u_1 = \frac{v}{2}$$
$$ 2u_1 = v \implies u_1 = \frac{v}{2}$$
Складывая уравнения, находим скорость крайних атомов для асимметричной моды:
Складывая уравнения, находим скорость крайних атомов для асимметричной моды:
$$ u_2 = \frac{mv}{2(2M+m)}$$
$$ u_2 = \frac{mv}{2(2M+m)}$$
Скорость центрального атома во второй моде равна его полной скорости в Ц-системе:
Скорость центрального атома во второй моде равна его полной скорости в Ц-системе:
$$ u_c = -\frac{Mv}{2M+m}$$
$$ u_c = -\frac{Mv}{2M+m}$$
Амплитуда симметричной моды ($A_1$):
Амплитуда симметричной моды ($A_1$):
Скорость сближения левого атома $O$ и атома $C$ в этой моде равна $v_{rel1} = u_1 = \frac{v}{2}$.
Скорость сближения левого атома $O$ и атома $C$ в этой моде равна $v_{rel1} = u_1 = \frac{v}{2}$.
Поскольку частоты $\omega_1$ и $\omega_2$ несоизмеримы, в некоторый момент времени фазы колебаний совпадут, и амплитуды сжатия левой пружинки от обеих мод сложатся. Максимальное сближение равно сумме амплитуд:
Поскольку частоты $\omega_1$ и $\omega_2$ несоизмеримы, в некоторый момент времени фазы колебаний совпадут, и амплитуды сжатия левой пружинки от обеих мод сложатся. Максимальное сближение равно сумме амплитуд:
