Edits to “Условие”, “Решение”, “Механизм”

igor edited
View solution History
revision #19802 parent #19801 ← older newer →
ru/3.9.14.md +143 −3
@@ -1,11 +1,151 @@
### Условие
−$3.9.14.$ [Вставьте условие задачи]
+$3.9.14^*.$ Между жесткими параллельными стенками находится воздух. Одна из стенок начинает поперечное гармоническое движение с амплитудой $A_0$ и частотой $\omega$. Расстояние между стенками $L\ll A_0$. До какой амплитуды смещения в пучности «раскачает» воздух эта стенка? Оцените время раскачки, если скорость звука в воздухе равна c.
+
### Решение
−132
+Под раскачкой понимаем выведение системы из равновесия при частоте близкой(!) к резонансной системы. Покажем сначала, как происходит раскачка.
+
+#### Механизм
+
+
+Пусть колебания смещения стены описываются
+
+$$
+y^*=-A_0\cos\omega t.
+$$
+
+(Закон можно изменить, это не повляет)
+
+Пусть колеблющаяся стена слева от правой неподвижной стены. После $t=0$ вправо от колеблющейся стены начнется распространение первой прямой синусоидальной волны.
+
+В момент прибытия первой прямой волны к неподвижной стене от этой стены влево начинает распространение первая обратная синусоидальная волна (см. задачу $3.8.4$).
+
+В момент прибытия первой обратной волны к колеблющейся стене получается первая частичная стоячая волна с амплитудой $2A_0$ на всем промежутке $L$.
+
+Дальше появляется вторая прямая волна, которая даст вторую обратную, и они сформируют вторую частичную стоячую. И так далее.
+
+Результирующее смещение в любой точке есть сумма смещений всех прямых и обратных волн. Так как попарно прямые и обратные образуют частичные стоячие, то можно сказать, что результирующее смещение в любой точке есть сумма смещений от всех частичных стоячих волн.
+
+Сложение частичных стоячих волн не сложное. Так как справа стенка, то пучности смещения всех частичных стоячих находятся на расстояниях
+
+$$
+k\frac{\lambda}{2},
+$$
+
+где $k$ есть целое число (см. задачу $3.8.4$). (Вы можете представить, что образуется одна пучность от каждой частичной для простоты на промежутке $L$, а потом уже делать выводы.)
+
+Поэтому чтобы найти результирующее смещение в пучности результирующей стоячей, нужно сложить смещения частичных стоячих волн в координате этой пучности. Если получается несколько пучностей результирущей, то в общем все пучности равноправны.
+
+
+Когда частота колеблющейся стены близка к резонансной, то когда вторая прямая волна начнет движение от колеблющейся стены, ее смещение будет отличаться от первой прямой волны на малую(!) фазу (угол)
+
+$$
+\delta\=\omega\frac{2L}{c},
+$$
+
+где $\frac{2L}{c}$ есть время, затраченное на проход волны от колеблющейся к неподвижной стене и обратно. Тут малость $\delta\ll\pi$ с приведением $-\pi\leqslant\delta\leqslant\pi$.
+
+Соответственно на такую фазу $\delta$ будут отличаться и смещения в пучности первой и второй частичных стоячих. То же верно и для пар вторая-третья, третья-четвертая и т.д.
+
+Наложение смещений в пучности первой, второй, третьей и т.д. частичных стоячих удобно показать на векторной диаграмме. Посмотрим пример для первых 10 таких.
+
+![Д1|224x996, 50%](../../img/3.9.14/3914b.png)
+
+Первая стрелка $y_1$ изображает колебание в пучности первой частичной стоячей, ее длина $2A_0$. Вторая $y_2$, отклоненная на $\delta$ от первой, изображает колебание в том же месте пучности для второй частичной стоячей, она тоже длиной $2A_0$ и т.д.
+
+Вектор из начала в конец дает суммарное смещение в данной точке от всех 10 наложений.
+
+Получается, что амплитуда в результирующей стоячей после включения системы растет. Рост заканчивается, когда стрелки вычертят полуокружность.
+
+![Д2|1579x921, 50%](../../img/3.9.14/3914d.png)
+
+Наибольшая амплитуда в результирующей стоячей обозначена $A$.
+
+Так объясняется раскачка.
+
+
+#### «Раскачанная» амплитуда
+
+Когда эта наибольшая амплитуда $A$ достигнута, мы можем записать уравнение стоячей результирующей (см. задачу $3.8.4$)
+
+$$
+Y=A\sin(kx)\sin(\omega t),
+$$
+
+где $k=2\pi/\lambda$.
+
+Это подобранная зависимость. Здесь считалось, что колеблющаяся стенка в координате $x=-L$, а неподвижная — в $x=0$. При $x=0$ имеем $Y=0$ (стена), что дается частью $\sin(kx)$. Для «временного» синуса выбран произвольный закон, без ограничений. (Можно выводить и строго для стоячей через общий вид уравнения для нее. Вариант $-\sin(kx)$ дает те же следствия.)
+
+Максимум смещения результирующей на стене колеблющейся должен равняться максимуму смещения стены самой
+
+$$
+A_0=A\left|\sin(-kL)\right|
+$$
+
+(модуль означает интерес к положительным значениям),
+
+откуда можно
+
+$$
+\boxed{A=\frac{A_0}{\left|\sin(\omega L/c)\right|}.}
+$$
+
+Еще подробности. Колеблющаяся стенка может «обрезать» стоячую волну так, что амплитуда смещения в ее координате не будет равна амплитуде в пучности. Вот пример картины для одной пучности в стоячей для такого случая.
+
+![Д3|1688x751, 50%](../../img/3.9.14/3914a.png)
+
+В этом примере два узла — две точки пересечения с осью $x$ (координатная ось). В них колебаний вообще нет. Так как стоячая должна сохранять форму синуса, то уже отсюда видно, что амплитуда колебания смещения на колеблющейся стене не равна амплитуде в пучносте, которая лежит между узлами ближайшими.
+
+Вот так у нас может у колеблющейся стены образоваться кусок, некратный(!) полуволне $\lambda/2$. (Рассмотрите и другие случаи обрезания стоячей.)
+
+
+#### Время раскачки
+
+По диаграмме Д2 (полукруг из стрелок) число стрелок по малости $2A_0\ll A$
+
+$$
+N\approx\frac{\frac{\pi}{2}A}{2A_0}.
+$$
+
+Каждое добавление стрелки требует время
+
+$$
+\frac{2L}{c},
+$$
+
+поэтому время раскачки
+
+$$
+\tau\approx N\frac{2L}{c}=\frac{\pi}{2}\frac{L}{c}\frac{1}{\left|\sin(\omega L/c)\right|},
+$$
+
+что оценивается
+
+$$
+\boxed{\tau\sim\frac{L}{c}\frac{1}{\left|\sin(\omega L/c)\right|}.}
+$$
+
+
+#### Литература
+
+[1] Иродов И.Е. Волновые процессы. 2015.
+
+[2] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.)
+
+[3] Сивухин. Д.В. Электричество. 1979. (Колебания и волны.)
+
+[3] Сивухин. Д.В. Оптика. 1980. (Интерференция света.)
+
+[4] М.А. Исакович. Общая акустика. 1973. Параграф 41.
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+A=\frac{A_0}{\left|\sin(\omega L/c)\right|},\quad \tau\sim\frac{L}{c}\frac{1}{\left|\sin(\omega L/c)\right|}
+$$
+
+при частоте колебаний стены, близкой к резонансной системы двух стенок.