Edits to “Механизм”, “«Раскачанная» амплитуда”
ru/3.9.14.md
+6 −6
| ### Условие | |||
| $3.9.14^*.$ Между жесткими параллельными стенками находится воздух. Одна из стенок начинает поперечное гармоническое движение с амплитудой $A_0$ и частотой $\omega$. Расстояние между стенками $L\ll A_0$. До какой амплитуды смещения в пучности «раскачает» воздух эта стенка? Оцените время раскачки, если скорость звука в воздухе равна c. | |||
| ### Решение | |||
| Под раскачкой понимаем выведение системы из равновесия при частоте близкой(!) к резонансной системы. Покажем сначала, как происходит раскачка. | |||
| #### Механизм | |||
| Пусть колебания смещения стены описываются | |||
| $$ | |||
| @@ -17,7 +17,7 @@Механизм | |||
| y^*=-A_0\cos\omega t. | |||
| $$ | |||
| − | (Закон можно изменить, это не повляет) | ||
| + | (Закон можно изменить, это не повляет.) | ||
| Пусть колеблющаяся стена слева от правой неподвижной стены. После $t=0$ вправо от колеблющейся стены начнется распространение первой прямой синусоидальной волны. | |||
| В момент прибытия первой прямой волны к неподвижной стене от этой стены влево начинает распространение первая обратная синусоидальная волна (см. задачу $3.8.4$). | |||
| В момент прибытия первой обратной волны к колеблющейся стене получается первая частичная стоячая волна с амплитудой $2A_0$ на всем промежутке $L$. | |||
| Дальше появляется вторая прямая волна, которая даст вторую обратную, и они сформируют вторую частичную стоячую. И так далее. | |||
| @@ -29,15 +29,15 @@Механизм | |||
| Результирующее смещение в любой точке есть сумма смещений всех прямых и обратных волн. Так как попарно прямые и обратные образуют частичные стоячие, то можно сказать, что результирующее смещение в любой точке есть сумма смещений от всех частичных стоячих волн. | |||
| − | Сложение частичных стоячих волн не сложное. Так как справа стен | ||
| + | Сложение частичных стоячих волн не сложное. Так как справа стена неподвижная, то пучности смещения всех частичных стоячих находятся на расстояниях от неподвижной стены | ||
| $$ | |||
| − | k\frac{\lambda}{2}, | ||
| + | \frac{\lambda}{4}+k\frac{\lambda}{2}, | ||
| $$ | |||
| − | где $k$ есть целое число (см. задачу $3.8.4$). (Вы можете представить, что образуется одна пучность от каждой частичной для простоты на промежутке $L$, а потом уже делать выводы.) | ||
| + | где $k$ есть целое число (см. задачу $3.8.4$). (Вы можете представить, что образуется только одна пучность от каждой частичной для простоты на промежутке $L$, а потом уже делать выводы.) | ||
| − | Поэтому чтобы найти результирующее смещение в пучности результирующей стоячей, нужно сложить смещения частичных стоячих волн в координате этой пучности. Если получается несколько пучностей результирущей, то в общем все пучности равноправны. | ||
| + | Поэтому, чтобы найти результирующее смещение в пучности результирующей стоячей, нужно сложить смещения частичных стоячих волн в координате этой пучности. Если получается несколько пучностей результирущей, то в общем все пучности равноправны. | ||
| Когда частота колеблющейся стены близка к резонансной, то когда вторая прямая волна начнет движение от колеблющейся стены, ее смещение будет отличаться от первой прямой волны на малую(!) фазу (угол) | |||
| $$ | |||
| \delta\=\omega\frac{2L}{c}, | |||
| $$ | |||
| где $\frac{2L}{c}$ есть время, затраченное на проход волны от колеблющейся к неподвижной стене и обратно. Тут малость $\delta\ll\pi$ с приведением $-\pi\leqslant\delta\leqslant\pi$. | |||
| Соответственно на такую фазу $\delta$ будут отличаться и смещения в пучности первой и второй частичных стоячих. То же верно и для пар вторая-третья, третья-четвертая и т.д. | |||
| Наложение смещений в пучности первой, второй, третьей и т.д. частичных стоячих удобно показать на векторной диаграмме. Посмотрим пример для первых 10 таких. | |||
|  | |||
| Первая стрелка $y_1$ изображает колебание в пучности первой частичной стоячей, ее длина $2A_0$. Вторая $y_2$, отклоненная на $\delta$ от первой, изображает колебание в том же месте пучности для второй частичной стоячей, она тоже длиной $2A_0$ и т.д. | |||
| Вектор из начала в конец дает суммарное смещение в данной точке от всех 10 наложений. | |||
| Получается, что амплитуда в результирующей стоячей после включения системы растет. Рост заканчивается, когда стрелки вычертят полуокружность. | |||
|  | |||
| Наибольшая амплитуда в результирующей стоячей обозначена $A$. | |||
| Так объясняется раскачка. | |||
| #### «Раскачанная» амплитуда | |||
| Когда эта наибольшая амплитуда $A$ достигнута, мы можем записать уравнение стоячей результирующей (см. задачу $3.8.4$) | |||
| $$ | |||
| Y=A\sin(kx)\sin(\omega t), | |||
| $$ | |||
| где $k=2\pi/\lambda$. | |||
| Это подобранная зависимость. Здесь считалось, что колеблющаяся стенка в координате $x=-L$, а неподвижная — в $x=0$. При $x=0$ имеем $Y=0$ (стена), что дается частью $\sin(kx)$. Для «временного» синуса выбран произвольный закон, без ограничений. (Можно выводить и строго для стоячей через общий вид уравнения для нее. Вариант $-\sin(kx)$ дает те же следствия.) | |||
| Максимум смещения результирующей на стене колеблющейся должен равняться максимуму смещения стены самой | |||
| $$ | |||
| A_0=A\left|\sin(-kL)\right| | |||
| $$ | |||
| (модуль означает интерес к положительным значениям), | |||
| откуда можно | |||
| $$ | |||
| \boxed{A=\frac{A_0}{\left|\sin(\omega L/c)\right|}.} | |||
| $$ | |||
| Еще подробности. Колеблющаяся стенка может «обрезать» стоячую волну так, что амплитуда смещения в ее координате не будет равна амплитуде в пучности. Вот пример картины для одной пучности в стоячей для такого случая. | |||
|  | |||
| @@ -99,7 +99,7 @@«Раскачанная» амплитуда | |||
| В этом примере два узла — две точки пересечения с осью $x$ (координатная ось). В них колебаний вообще нет. Так как стоячая должна сохранять форму синуса, то уже отсюда видно, что амплитуда колебания смещения на колеблющейся стене не равна амплитуде в пучносте, которая лежит между узлами ближайшими. | |||
| − | Вот так у нас может у колеблющейся стены образоваться кусок, некратный(!) | ||
| + | Вот так у нас может у колеблющейся стены образоваться кусок, некратный(!) четверти волны $\lambda/4$. (Рассмотрите и другие случаи обрезания стоячей.) | ||
| #### Время раскачки | |||
| По диаграмме Д2 (полукруг из стрелок) число стрелок по малости $2A_0\ll A$ | |||
| $$ | |||
| N\approx\frac{\frac{\pi}{2}A}{2A_0}. | |||
| $$ | |||
| Каждое добавление стрелки требует время | |||
| $$ | |||
| \frac{2L}{c}, | |||
| $$ | |||
| поэтому время раскачки | |||
| $$ | |||
| \tau\approx N\frac{2L}{c}=\frac{\pi}{2}\frac{L}{c}\frac{1}{\left|\sin(\omega L/c)\right|}, | |||
| $$ | |||
| что оценивается | |||
| $$ | |||
| \boxed{\tau\sim\frac{L}{c}\frac{1}{\left|\sin(\omega L/c)\right|}.} | |||
| $$ | |||
| #### Литература | |||
| [1] Иродов И.Е. Волновые процессы. 2015. | |||
| [2] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.) | |||
| [3] Сивухин. Д.В. Электричество. 1979. (Колебания и волны.) | |||
| [3] Сивухин. Д.В. Оптика. 1980. (Интерференция света.) | |||
| [4] М.А. Исакович. Общая акустика. 1973. Параграф 41. | |||
| #### Ответ | |||
| $$ | |||
| A=\frac{A_0}{\left|\sin(\omega L/c)\right|},\quad \tau\sim\frac{L}{c}\frac{1}{\left|\sin(\omega L/c)\right|} | |||
| $$ | |||
| при частоте колебаний стены, близкой к резонансной системы двух стенок. | |||
| unchanged lines 46 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.9.14^*.$ Между жесткими параллельными стенками находится воздух. Одна из стенок начинает поперечное гармоническое движение с амплитудой $A_0$ и частотой $\omega$. Расстояние между стенками $L\ll A_0$. До какой амплитуды смещения в пучности «раскачает» воздух эта стенка? Оцените время раскачки, если скорость звука в воздухе равна c. | $3.9.14^*.$ Между жесткими параллельными стенками находится воздух. Одна из стенок начинает поперечное гармоническое движение с амплитудой $A_0$ и частотой $\omega$. Расстояние между стенками $L\ll A_0$. До какой амплитуды смещения в пучности «раскачает» воздух эта стенка? Оцените время раскачки, если скорость звука в воздухе равна c. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Под раскачкой понимаем выведение системы из равновесия при частоте близкой(!) к резонансной системы. Покажем сначала, как происходит раскачка. | Под раскачкой понимаем выведение системы из равновесия при частоте близкой(!) к резонансной системы. Покажем сначала, как происходит раскачка. | ||
| #### Механизм | #### Механизм | ||
| Пусть колебания смещения стены описываются | Пусть колебания смещения стены описываются | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -17,7 +17,7 @@Механизм | |||
| y^*=-A_0\cos\omega t. | y^*=-A_0\cos\omega t. | ||
| $$ | $$ | ||
| (Закон можно изменить, это не повляет) | (Закон можно изменить, это не повляет.) | ||
| Пусть колеблющаяся стена слева от правой неподвижной стены. После $t=0$ вправо от колеблющейся стены начнется распространение первой прямой синусоидальной волны. | Пусть колеблющаяся стена слева от правой неподвижной стены. После $t=0$ вправо от колеблющейся стены начнется распространение первой прямой синусоидальной волны. | ||
| В момент прибытия первой прямой волны к неподвижной стене от этой стены влево начинает распространение первая обратная синусоидальная волна (см. задачу $3.8.4$). | В момент прибытия первой прямой волны к неподвижной стене от этой стены влево начинает распространение первая обратная синусоидальная волна (см. задачу $3.8.4$). | ||
| В момент прибытия первой обратной волны к колеблющейся стене получается первая частичная стоячая волна с амплитудой $2A_0$ на всем промежутке $L$. | В момент прибытия первой обратной волны к колеблющейся стене получается первая частичная стоячая волна с амплитудой $2A_0$ на всем промежутке $L$. | ||
| Дальше появляется вторая прямая волна, которая даст вторую обратную, и они сформируют вторую частичную стоячую. И так далее. | Дальше появляется вторая прямая волна, которая даст вторую обратную, и они сформируют вторую частичную стоячую. И так далее. | ||
| @@ -29,15 +29,15 @@Механизм | |||
| Результирующее смещение в любой точке есть сумма смещений всех прямых и обратных волн. Так как попарно прямые и обратные образуют частичные стоячие, то можно сказать, что результирующее смещение в любой точке есть сумма смещений от всех частичных стоячих волн. | Результирующее смещение в любой точке есть сумма смещений всех прямых и обратных волн. Так как попарно прямые и обратные образуют частичные стоячие, то можно сказать, что результирующее смещение в любой точке есть сумма смещений от всех частичных стоячих волн. | ||
| Сложение частичных стоячих волн не сложное. Так как справа стен |
Сложение частичных стоячих волн не сложное. Так как справа стена неподвижная, то пучности смещения всех частичных стоячих находятся на расстояниях от неподвижной стены | ||
| $$ | $$ | ||
| k\frac{\lambda}{2}, | \frac{\lambda}{4}+k\frac{\lambda}{2}, | ||
| $$ | $$ | ||
| где $k$ есть целое число (см. задачу $3.8.4$). (Вы можете представить, что образуется одна пучность от каждой частичной для простоты на промежутке $L$, а потом уже делать выводы.) | где $k$ есть целое число (см. задачу $3.8.4$). (Вы можете представить, что образуется только одна пучность от каждой частичной для простоты на промежутке $L$, а потом уже делать выводы.) | ||
| Поэтому чтобы найти результирующее смещение в пучности результирующей стоячей, нужно сложить смещения частичных стоячих волн в координате этой пучности. Если получается несколько пучностей результирущей, то в общем все пучности равноправны. | Поэтому, чтобы найти результирующее смещение в пучности результирующей стоячей, нужно сложить смещения частичных стоячих волн в координате этой пучности. Если получается несколько пучностей результирущей, то в общем все пучности равноправны. | ||
| Когда частота колеблющейся стены близка к резонансной, то когда вторая прямая волна начнет движение от колеблющейся стены, ее смещение будет отличаться от первой прямой волны на малую(!) фазу (угол) | Когда частота колеблющейся стены близка к резонансной, то когда вторая прямая волна начнет движение от колеблющейся стены, ее смещение будет отличаться от первой прямой волны на малую(!) фазу (угол) | ||
| $$ | $$ | ||
| \delta\=\omega\frac{2L}{c}, | \delta\=\omega\frac{2L}{c}, | ||
| $$ | $$ | ||
| где $\frac{2L}{c}$ есть время, затраченное на проход волны от колеблющейся к неподвижной стене и обратно. Тут малость $\delta\ll\pi$ с приведением $-\pi\leqslant\delta\leqslant\pi$. | где $\frac{2L}{c}$ есть время, затраченное на проход волны от колеблющейся к неподвижной стене и обратно. Тут малость $\delta\ll\pi$ с приведением $-\pi\leqslant\delta\leqslant\pi$. | ||
| Соответственно на такую фазу $\delta$ будут отличаться и смещения в пучности первой и второй частичных стоячих. То же верно и для пар вторая-третья, третья-четвертая и т.д. | Соответственно на такую фазу $\delta$ будут отличаться и смещения в пучности первой и второй частичных стоячих. То же верно и для пар вторая-третья, третья-четвертая и т.д. | ||
| Наложение смещений в пучности первой, второй, третьей и т.д. частичных стоячих удобно показать на векторной диаграмме. Посмотрим пример для первых 10 таких. | Наложение смещений в пучности первой, второй, третьей и т.д. частичных стоячих удобно показать на векторной диаграмме. Посмотрим пример для первых 10 таких. | ||
|  |  | ||
| Первая стрелка $y_1$ изображает колебание в пучности первой частичной стоячей, ее длина $2A_0$. Вторая $y_2$, отклоненная на $\delta$ от первой, изображает колебание в том же месте пучности для второй частичной стоячей, она тоже длиной $2A_0$ и т.д. | Первая стрелка $y_1$ изображает колебание в пучности первой частичной стоячей, ее длина $2A_0$. Вторая $y_2$, отклоненная на $\delta$ от первой, изображает колебание в том же месте пучности для второй частичной стоячей, она тоже длиной $2A_0$ и т.д. | ||
| Вектор из начала в конец дает суммарное смещение в данной точке от всех 10 наложений. | Вектор из начала в конец дает суммарное смещение в данной точке от всех 10 наложений. | ||
| Получается, что амплитуда в результирующей стоячей после включения системы растет. Рост заканчивается, когда стрелки вычертят полуокружность. | Получается, что амплитуда в результирующей стоячей после включения системы растет. Рост заканчивается, когда стрелки вычертят полуокружность. | ||
|  |  | ||
| Наибольшая амплитуда в результирующей стоячей обозначена $A$. | Наибольшая амплитуда в результирующей стоячей обозначена $A$. | ||
| Так объясняется раскачка. | Так объясняется раскачка. | ||
| #### «Раскачанная» амплитуда | #### «Раскачанная» амплитуда | ||
| Когда эта наибольшая амплитуда $A$ достигнута, мы можем записать уравнение стоячей результирующей (см. задачу $3.8.4$) | Когда эта наибольшая амплитуда $A$ достигнута, мы можем записать уравнение стоячей результирующей (см. задачу $3.8.4$) | ||
| $$ | $$ | ||
| Y=A\sin(kx)\sin(\omega t), | Y=A\sin(kx)\sin(\omega t), | ||
| $$ | $$ | ||
| где $k=2\pi/\lambda$. | где $k=2\pi/\lambda$. | ||
| Это подобранная зависимость. Здесь считалось, что колеблющаяся стенка в координате $x=-L$, а неподвижная — в $x=0$. При $x=0$ имеем $Y=0$ (стена), что дается частью $\sin(kx)$. Для «временного» синуса выбран произвольный закон, без ограничений. (Можно выводить и строго для стоячей через общий вид уравнения для нее. Вариант $-\sin(kx)$ дает те же следствия.) | Это подобранная зависимость. Здесь считалось, что колеблющаяся стенка в координате $x=-L$, а неподвижная — в $x=0$. При $x=0$ имеем $Y=0$ (стена), что дается частью $\sin(kx)$. Для «временного» синуса выбран произвольный закон, без ограничений. (Можно выводить и строго для стоячей через общий вид уравнения для нее. Вариант $-\sin(kx)$ дает те же следствия.) | ||
| Максимум смещения результирующей на стене колеблющейся должен равняться максимуму смещения стены самой | Максимум смещения результирующей на стене колеблющейся должен равняться максимуму смещения стены самой | ||
| $$ | $$ | ||
| A_0=A\left|\sin(-kL)\right| | A_0=A\left|\sin(-kL)\right| | ||
| $$ | $$ | ||
| (модуль означает интерес к положительным значениям), | (модуль означает интерес к положительным значениям), | ||
| откуда можно | откуда можно | ||
| $$ | $$ | ||
| \boxed{A=\frac{A_0}{\left|\sin(\omega L/c)\right|}.} | \boxed{A=\frac{A_0}{\left|\sin(\omega L/c)\right|}.} | ||
| $$ | $$ | ||
| Еще подробности. Колеблющаяся стенка может «обрезать» стоячую волну так, что амплитуда смещения в ее координате не будет равна амплитуде в пучности. Вот пример картины для одной пучности в стоячей для такого случая. | Еще подробности. Колеблющаяся стенка может «обрезать» стоячую волну так, что амплитуда смещения в ее координате не будет равна амплитуде в пучности. Вот пример картины для одной пучности в стоячей для такого случая. | ||
|  |  | ||
| @@ -99,7 +99,7 @@«Раскачанная» амплитуда | |||
| В этом примере два узла — две точки пересечения с осью $x$ (координатная ось). В них колебаний вообще нет. Так как стоячая должна сохранять форму синуса, то уже отсюда видно, что амплитуда колебания смещения на колеблющейся стене не равна амплитуде в пучносте, которая лежит между узлами ближайшими. | В этом примере два узла — две точки пересечения с осью $x$ (координатная ось). В них колебаний вообще нет. Так как стоячая должна сохранять форму синуса, то уже отсюда видно, что амплитуда колебания смещения на колеблющейся стене не равна амплитуде в пучносте, которая лежит между узлами ближайшими. | ||
| Вот так у нас может у колеблющейся стены образоваться кусок, некратный(!) |
Вот так у нас может у колеблющейся стены образоваться кусок, некратный(!) четверти волны $\lambda/4$. (Рассмотрите и другие случаи обрезания стоячей.) | ||
| #### Время раскачки | #### Время раскачки | ||
| По диаграмме Д2 (полукруг из стрелок) число стрелок по малости $2A_0\ll A$ | По диаграмме Д2 (полукруг из стрелок) число стрелок по малости $2A_0\ll A$ | ||
| $$ | $$ | ||
| N\approx\frac{\frac{\pi}{2}A}{2A_0}. | N\approx\frac{\frac{\pi}{2}A}{2A_0}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Каждое добавление стрелки требует время | Каждое добавление стрелки требует время | ||
| $$ | $$ | ||
| \frac{2L}{c}, | \frac{2L}{c}, | ||
| $$ | $$ | ||
| поэтому время раскачки | поэтому время раскачки | ||
| $$ | $$ | ||
| \tau\approx N\frac{2L}{c}=\frac{\pi}{2}\frac{L}{c}\frac{1}{\left|\sin(\omega L/c)\right|}, | \tau\approx N\frac{2L}{c}=\frac{\pi}{2}\frac{L}{c}\frac{1}{\left|\sin(\omega L/c)\right|}, | ||
| $$ | $$ | ||
| что оценивается | что оценивается | ||
| $$ | $$ | ||
| \boxed{\tau\sim\frac{L}{c}\frac{1}{\left|\sin(\omega L/c)\right|}.} | \boxed{\tau\sim\frac{L}{c}\frac{1}{\left|\sin(\omega L/c)\right|}.} | ||
| $$ | $$ | ||
| #### Литература | #### Литература | ||
| [1] Иродов И.Е. Волновые процессы. 2015. | [1] Иродов И.Е. Волновые процессы. 2015. | ||
| [2] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.) | [2] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.) | ||
| [3] Сивухин. Д.В. Электричество. 1979. (Колебания и волны.) | [3] Сивухин. Д.В. Электричество. 1979. (Колебания и волны.) | ||
| [3] Сивухин. Д.В. Оптика. 1980. (Интерференция света.) | [3] Сивухин. Д.В. Оптика. 1980. (Интерференция света.) | ||
| [4] М.А. Исакович. Общая акустика. 1973. Параграф 41. | [4] М.А. Исакович. Общая акустика. 1973. Параграф 41. | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | $$ | ||
| A=\frac{A_0}{\left|\sin(\omega L/c)\right|},\quad \tau\sim\frac{L}{c}\frac{1}{\left|\sin(\omega L/c)\right|} | A=\frac{A_0}{\left|\sin(\omega L/c)\right|},\quad \tau\sim\frac{L}{c}\frac{1}{\left|\sin(\omega L/c)\right|} | ||
| $$ | $$ | ||
| при частоте колебаний стены, близкой к резонансной системы двух стенок. | при частоте колебаний стены, близкой к резонансной системы двух стенок. | ||
| unchanged lines 46 | |||