| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $3.9.14^*.$ Между жесткими параллельными стенками находится воздух. Одна из стенок начинает поперечное гармоническое движение с амплитудой $A_0$ и частотой $\omega$. Расстояние между стенками $L\ll A_0$. До какой амплитуды смещения в пучности «раскачает» воздух эта стенка? Оцените время раскачки, если скорость звука в воздухе равна c. | | $3.9.14^*.$ Между жесткими параллельными стенками находится воздух. Одна из стенок начинает поперечное гармоническое движение с амплитудой $A_0$ и частотой $\omega$. Расстояние между стенками $L\ll A_0$. До какой амплитуды смещения в пучности «раскачает» воздух эта стенка? Оцените время раскачки, если скорость звука в воздухе равна c. |
| | | |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Под раскачкой понимаем выведение системы из равновесия при частоте близкой(!) к резонансной системы. Покажем сначала, как происходит раскачка. | | Под раскачкой понимаем выведение системы из равновесия при частоте близкой(!) к резонансной системы. Покажем сначала, как происходит раскачка. |
| | | |
| | | |
| #### Механизм | | #### Механизм |
| | | |
| | | |
| Пусть колебания смещения стены описываются | | Пусть колебания смещения стены описываются |
| | | |
| $$ | | $$ |
| y^*=-A_0\cos\omega t. | | y^*=-A_0\cos\omega t. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| (Закон можно изменить, это не повляет.) | | (Закон можно изменить, это не повляет.) |
| | | |
| Пусть колеблющаяся стена слева от правой неподвижной стены. После $t=0$ вправо от колеблющейся стены начнется распространение первой прямой синусоидальной волны. | | Пусть колеблющаяся стена слева от правой неподвижной стены. После $t=0$ вправо от колеблющейся стены начнется распространение первой прямой синусоидальной волны. |
| | | |
| В момент прибытия первой прямой волны к неподвижной стене от этой стены влево начинает распространение первая обратная синусоидальная волна (см. задачу $3.8.4$). | | В момент прибытия первой прямой волны к неподвижной стене от этой стены влево начинает распространение первая обратная синусоидальная волна (см. задачу $3.8.4$). |
| | | |
| В момент прибытия первой обратной волны к колеблющейся стене получается первая частичная стоячая волна с амплитудой $2A_0$ на всем промежутке $L$. | | В момент прибытия первой обратной волны к колеблющейся стене получается первая частичная стоячая волна с амплитудой $2A_0$ на всем промежутке $L$. |
| | | |
| Дальше появляется вторая прямая волна, которая даст вторую обратную, и они сформируют вторую частичную стоячую. И так далее. | | Дальше появляется вторая прямая волна, которая даст вторую обратную, и они сформируют вторую частичную стоячую. И так далее. |
| | | |
| Результирующее смещение в любой точке есть сумма смещений всех прямых и обратных волн. Так как попарно прямые и обратные образуют частичные стоячие, то можно сказать, что результирующее смещение в любой точке есть сумма смещений от всех частичных стоячих волн. | | Результирующее смещение в любой точке есть сумма смещений всех прямых и обратных волн. Так как попарно прямые и обратные образуют частичные стоячие, то можно сказать, что результирующее смещение в любой точке есть сумма смещений от всех частичных стоячих волн. |
| | | |
| Сложение частичных стоячих волн не сложное. Так как справа стена неподвижная, то пучности смещения всех частичных стоячих находятся на расстояниях от неподвижной стены | | Сложение частичных стоячих волн не сложное. Так как справа стена неподвижная, то пучности смещения всех частичных стоячих находятся на расстояниях от неподвижной стены |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{\lambda}{4}+k\frac{\lambda}{2}, | | \frac{\lambda}{4}+k\frac{\lambda}{2}, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $k$ есть целое число (см. задачу $3.8.4$). (Вы можете представить, что образуется только одна пучность от каждой частичной для простоты на промежутке $L$, а потом уже делать выводы.) | | где $k$ есть целое число (см. задачу $3.8.4$). (Вы можете представить, что образуется только одна пучность от каждой частичной для простоты на промежутке $L$, а потом уже делать выводы.) |
| | | |
| Поэтому, чтобы найти результирующее смещение в пучности результирующей стоячей, нужно сложить смещения частичных стоячих волн в координате этой пучности. Если получается несколько пучностей результирущей, то в общем все пучности равноправны. | | Поэтому, чтобы найти результирующее смещение в пучности результирующей стоячей, нужно сложить смещения частичных стоячих волн в координате этой пучности. Если получается несколько пучностей результирущей, то в общем все пучности равноправны. |
| | | |
| | | |
| Когда частота колеблющейся стены близка к резонансной, то когда вторая прямая волна начнет движение от колеблющейся стены, ее смещение будет отличаться от первой прямой волны на малую(!) фазу (угол) | | Когда частота колеблющейся стены близка к резонансной, то когда вторая прямая волна начнет движение от колеблющейся стены, ее смещение будет отличаться от первой прямой волны на малую(!) фазу (угол) |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \delta\=\omega\frac{2L}{c}, | | \delta\=\omega\frac{2L}{c}, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $\frac{2L}{c}$ есть время, затраченное на проход волны от колеблющейся к неподвижной стене и обратно. Тут малость $\delta\ll\pi$ с приведением $-\pi\leqslant\delta\leqslant\pi$. | | где $\frac{2L}{c}$ есть время, затраченное на проход волны от колеблющейся к неподвижной стене и обратно. Тут малость $\delta\ll\pi$ с приведением $-\pi\leqslant\delta\leqslant\pi$. |
| | | |
| Соответственно на такую фазу $\delta$ будут отличаться и смещения в пучности первой и второй частичных стоячих. То же верно и для пар вторая-третья, третья-четвертая и т.д. | | Соответственно на такую фазу $\delta$ будут отличаться и смещения в пучности первой и второй частичных стоячих. То же верно и для пар вторая-третья, третья-четвертая и т.д. |
| | | |
| Наложение смещений в пучности первой, второй, третьей и т.д. частичных стоячих удобно показать на векторной диаграмме. Посмотрим пример для первых 10 таких. | | Наложение смещений в пучности первой, второй, третьей и т.д. частичных стоячих удобно показать на векторной диаграмме. Посмотрим пример для первых 10 таких. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Первая стрелка $y_1$ изображает колебание в пучности первой частичной стоячей, ее длина $2A_0$. Вторая $y_2$, отклоненная на $\delta$ от первой, изображает колебание в том же месте пучности для второй частичной стоячей, она тоже длиной $2A_0$ и т.д. | | Первая стрелка $y_1$ изображает колебание в пучности первой частичной стоячей, ее длина $2A_0$. Вторая $y_2$, отклоненная на $\delta$ от первой, изображает колебание в том же месте пучности для второй частичной стоячей, она тоже длиной $2A_0$ и т.д. |
| | | |
| Вектор из начала в конец дает суммарное смещение в данной точке от всех 10 наложений. | | Вектор из начала в конец дает суммарное смещение в данной точке от всех 10 наложений. |
| | | |
| Получается, что амплитуда в результирующей стоячей после включения системы растет. Рост заканчивается, когда стрелки вычертят полуокружность. | | Получается, что амплитуда в результирующей стоячей после включения системы растет. Рост заканчивается, когда стрелки вычертят полуокружность. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Наибольшая амплитуда в результирующей стоячей обозначена $A$. | | Наибольшая амплитуда в результирующей стоячей обозначена $A$. |
| | | |
| Так объясняется раскачка. | | Так объясняется раскачка. |
| | | |
| При частоте, близкой к резонансной, рост амплитуды в пучности монотонный. При не близкой частоте амплитуда меняется в общем скачкообразно через каждое время $2L/c$ (посмотрите). | | При частоте, близкой к резонансной, рост амплитуды в пучности монотонный. При не близкой частоте амплитуда меняется в общем скачкообразно через каждое время $2L/c$ (посмотрите). |
| | | |
| | | |
| #### «Раскачанная» амплитуда | | #### «Раскачанная» амплитуда |
| | | |
| Когда эта наибольшая амплитуда $A$ достигнута, мы можем записать уравнение стоячей результирующей (см. задачу $3.8.4$) | | Когда эта наибольшая амплитуда $A$ достигнута, мы можем записать уравнение стоячей результирующей (см. задачу $3.8.4$) |
| | | |
| $$ | | $$ |
| Y=A\sin(kx)\sin(\omega t), | | Y=A\sin(kx)\sin(\omega t), |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $k=2\pi/\lambda$. | | где $k=2\pi/\lambda$. |
| | | |
| Это подобранная зависимость. Здесь считалось, что колеблющаяся стенка в координате $x=-L$, а неподвижная — в $x=0$. При $x=0$ имеем $Y=0$ (стена), что дается частью $\sin(kx)$. Для «временного» синуса выбран произвольный закон, без ограничений. (Можно выводить и строго для стоячей через общий вид уравнения для нее. Вариант $-\sin(kx)$ дает те же следствия.) | | Это подобранная зависимость. Здесь считалось, что колеблющаяся стенка в координате $x=-L$, а неподвижная — в $x=0$. При $x=0$ имеем $Y=0$ (стена), что дается частью $\sin(kx)$. Для «временного» синуса выбран произвольный закон, без ограничений. (Можно выводить и строго для стоячей через общий вид уравнения для нее. Вариант $-\sin(kx)$ дает те же следствия.) |
| | | |
| Максимум смещения результирующей на стене колеблющейся должен равняться максимуму смещения стены самой | | Максимум смещения результирующей на стене колеблющейся должен равняться максимуму смещения стены самой |
| | | |
| $$ | | $$ |
| A_0=A\left|\sin(-kL)\right| | | A_0=A\left|\sin(-kL)\right| |
| $$ | | $$ |
| | | |
| (модуль означает интерес к положительным значениям), | | (модуль означает интерес к положительным значениям), |
| | | |
| откуда можно | | откуда можно |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{A=\frac{A_0}{\left|\sin(\omega L/c)\right|}.} | | \boxed{A=\frac{A_0}{\left|\sin(\omega L/c)\right|}.} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Еще подробности. Колеблющаяся стенка может «обрезать» стоячую волну так, что амплитуда смещения в ее координате не будет равна амплитуде в пучности. Вот пример картины для одной пучности в стоячей для такого случая. | | Еще подробности. Колеблющаяся стенка может «обрезать» стоячую волну так, что амплитуда смещения в ее координате не будет равна амплитуде в пучности. Вот пример картины для одной пучности в стоячей для такого случая. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| В этом примере два узла — две точки пересечения с осью $x$ (координатная ось). В них колебаний вообще нет. Так как стоячая должна сохранять форму синуса, то уже отсюда видно, что амплитуда колебания смещения на колеблющейся стене не равна амплитуде в пучносте, которая лежит между узлами ближайшими. | | В этом примере два узла — две точки пересечения с осью $x$ (координатная ось). В них колебаний вообще нет. Так как стоячая должна сохранять форму синуса, то уже отсюда видно, что амплитуда колебания смещения на колеблющейся стене не равна амплитуде в пучносте, которая лежит между узлами ближайшими. |
| | | |
| Вот так у нас может у колеблющейся стены образоваться кусок, некратный(!) четверти волны $\lambda/4$. (Рассмотрите и другие случаи обрезания стоячей.) | | Вот так у нас может у колеблющейся стены образоваться кусок, некратный(!) четверти волны $\lambda/4$. (Рассмотрите и другие случаи обрезания стоячей.) |
| | | |
| | | |
| #### Время раскачки | | #### Время раскачки |
| | | |
| По диаграмме Д2 (полукруг из стрелок) число стрелок по малости $2A_0\ll A$ | | По диаграмме Д2 (полукруг из стрелок) число стрелок по малости $2A_0\ll A$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| N\approx\frac{\frac{\pi}{2}A}{2A_0}. | | N\approx\frac{\frac{\pi}{2}A}{2A_0}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Каждое добавление стрелки требует время | | Каждое добавление стрелки требует время |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{2L}{c}, | | \frac{2L}{c}, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| поэтому время раскачки | | поэтому время раскачки |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \tau\approx N\frac{2L}{c}=\frac{\pi}{2}\frac{L}{c}\frac{1}{\left|\sin(\omega L/c)\right|}, | | \tau\approx N\frac{2L}{c}=\frac{\pi}{2}\frac{L}{c}\frac{1}{\left|\sin(\omega L/c)\right|}, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| что оценивается | | что оценивается |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{\tau\sim\frac{L}{c}\frac{1}{\left|\sin(\omega L/c)\right|}.} | | \boxed{\tau\sim\frac{L}{c}\frac{1}{\left|\sin(\omega L/c)\right|}.} |
| $$ | | $$ |
| | | |
