Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

Valter edited
View solution History
revision #19808 parent #12452 ← older
ru/4.1.3.md +23 −19
@@ -1,31 +1,35 @@
−### Условие:
+### Условие
$4.1.3^*.$ Результирующая сила, действующая со стороны сжатой жидкости на три грани правильного тетраэдра, равна $F$. Длина ребра тетраэдра $a$. Определите давление жидкости.
−### Решение:
+### Решение
−Правильный тетраэдр представляет собой пространственную фигуру, составленную из четырёх правильных треугольников с длиной ребра $a$. Полная площадь поверхности тетраэдра вычисляется как:
+В сжатой жидкости давление $p$ одинаково по всему объему. Известно, что векторная сумма сил давления, действующих со стороны жидкости на любую замкнутую поверхность, равна нулю.
−$$
−S_\text{total} = a^2 \sqrt{3}\tag{1}
−$$
+Обозначим векторы сил, действующих на четыре грани тетраэдра, как $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3$ и $\vec{F}_4$. Условие равновесия:
+$$ \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{F}_4 = 0 $$
−Площадь одной грани равна
+По условию задачи, результирующая сила, действующая на три верхние грани, равна $\vec{F}$:
+$$ \vec{F}_{123} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 $$
+Причем модуль этой силы $|\vec{F}_{123}| = F$.
−$$
−S_\text{face} = \frac{x^2 \sqrt{3}}{4}\tag{2}
−$$
+Следовательно, сила, действующая на четвертую (нижнюю) грань, должна полностью уравновешивать эту результирующую силу:
+$$ \vec{F}_{123} + \vec{F}_4 = 0 \implies \vec{F}_4 = -\vec{F}_{123} $$
−Давление \( p \) определяется как сила, отнесённая к площади поверхности, на которую она действует. Учитывая, что сила \( F \) распределена на три грани тетраэдра, давление жидкости \( p \) определяется как:
+Отсюда следует, что модуль силы давления на четвертую грань также равен $F$:
+$$ |\vec{F}_4| = F $$
−\[
−p = \frac{F}{3 \cdot S_{\text{face}}}.\tag{3}
−\]
+По определению давления, модуль силы, действующей на плоскую грань, равен произведению давления $p$ на площадь этой грани $S$:
+$$ F_4 = pS \implies pS = F $$
−Подставляя выражение для площади одной грани, получаем:
+Поскольку тетраэдр правильный, все его грани представляют собой одинаковые равносторонние треугольники со стороной $a$. Площадь одной такой грани вычисляется по формуле:
+$$ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} $$
−$$
−P=\frac{4 F}{a^2 \sqrt{3}} \tag{4}
−$$
+Подставляя площадь в уравнение для силы, получаем:
+$$ p \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = F $$
−#### Ответ: $P = \frac{4}{\sqrt{3}} \frac{F}{a^2}$
+Откуда выражаем искомое давление жидкости:
+$$ p = \frac{4F}{a^2 \sqrt{3}} $$
+
+### Ответ
+$$ p = \frac{4F}{a^2 \sqrt{3}} $$