Движение частицы в скрещенных полях можно представить в виде вращения с постоянной по модулю скоростью вокруг центра окружности, который движется с дрейфовой скоростью.(подробное доказательство этого факта смотрите в задаче $10.2.7$)
Как известно:
$$v_{др}=\frac{E}{B}=\frac{U}{Bh}$$
Если электрон изначально будет двигаться с этой скоростью, то вращения по окружности просто не будет. То есть электрон движется по прямой. Далее рассмотрим случай, если вращение всё же есть. Перейдём в СО движущуюся со скоростью дрейфа
Тогда скорость, с которой частица вращается вокруг центра:
$$v_{вр}=v-v_{др}$$
Изначально частица находится в верхней точке окружности, по которой будет вращаться.
На рисунке показаны возможные траектории вращения электрона в системе, движущейся в дрейфовой скоростью. Для отсутствия столкновения с пластиной конденсатора:
$$2R\le\frac{h}{2}$$
Вспомним формулу для радиусы при вращении по окружности в магнитном поле(напомним, что в этой СО есть только магнитное поле):
$$R=\frac{m_e v_{вр}}{eB}$$
Тогда:
$$v\le\frac{U}{Bh}+\frac{eBh}{4m_e}$$
Однако это ещё не всё. А что если скорость дрейфа больше начальной скорости? Тогда вращение будет происходить в другую сторону:
Вновь подставим формулы для движения по окружности и получим нижнюю границу скорости:
@@ -31,7 +31,41 @@Решение
$$v\ge\frac{E}{B}-\frac{eBh}{4m_e}$$
Но не стоит забывать что нижняя граница имеет смысл только если начальная скорость больше нуля
+
### Альтернативное решение (Динамический метод)
+
Рассмотрим движение электрона (заряд $-e$, масса $m$) в декартовой системе координат. Пусть ось $x$ направлена вдоль начальной скорости электрона (вправо), ось $y$ — вертикально вверх, а магнитное поле $\vec{B}$ направлено вдоль оси $z$ (на нас).
+
+
Напряженность электрического поля в конденсаторе $E = V/h$. Чтобы электрон мог пролететь, электрическая сила должна компенсировать магнитную, следовательно, вектор $\vec{E}$ направлен вверх.
+
+
Запишем уравнения движения электрона (проекции второго закона Ньютона).
+
По оси $x$ действует только проекция магнитной силы Лоренца, возникающая при вертикальном смещении:
Поскольку электрон влетает в конденсатор в точке $y = 0$ с нулевой вертикальной скоростью, эта точка является крайней точкой колебаний. Максимальное отклонение от начальной оси составит:
+
$$y_{max} = 2y_0 = \frac{2m(Bv - E)}{eB^2}$$
+
+
Для того чтобы электрон прошел через конденсатор и не столкнулся с пластинами, максимальное отклонение по модулю не должно превышать половины расстояния между пластинами:
Движение частицы в скрещенных полях можно представить в виде вращения с постоянной по модулю скоростью вокруг центра окружности, который движется с дрейфовой скоростью.(подробное доказательство этого факта смотрите в задаче $10.2.7$)
Движение частицы в скрещенных полях можно представить в виде вращения с постоянной по модулю скоростью вокруг центра окружности, который движется с дрейфовой скоростью.(подробное доказательство этого факта смотрите в задаче $10.2.7$)
Как известно:
Как известно:
$$v_{др}=\frac{E}{B}=\frac{U}{Bh}$$
$$v_{др}=\frac{E}{B}=\frac{U}{Bh}$$
Если электрон изначально будет двигаться с этой скоростью, то вращения по окружности просто не будет. То есть электрон движется по прямой. Далее рассмотрим случай, если вращение всё же есть. Перейдём в СО движущуюся со скоростью дрейфа
Если электрон изначально будет двигаться с этой скоростью, то вращения по окружности просто не будет. То есть электрон движется по прямой. Далее рассмотрим случай, если вращение всё же есть. Перейдём в СО движущуюся со скоростью дрейфа
Тогда скорость, с которой частица вращается вокруг центра:
Тогда скорость, с которой частица вращается вокруг центра:
$$v_{вр}=v-v_{др}$$
$$v_{вр}=v-v_{др}$$
Изначально частица находится в верхней точке окружности, по которой будет вращаться.
Изначально частица находится в верхней точке окружности, по которой будет вращаться.
На рисунке показаны возможные траектории вращения электрона в системе, движущейся в дрейфовой скоростью. Для отсутствия столкновения с пластиной конденсатора:
На рисунке показаны возможные траектории вращения электрона в системе, движущейся в дрейфовой скоростью. Для отсутствия столкновения с пластиной конденсатора:
$$2R\le\frac{h}{2}$$
$$2R\le\frac{h}{2}$$
Вспомним формулу для радиусы при вращении по окружности в магнитном поле(напомним, что в этой СО есть только магнитное поле):
Вспомним формулу для радиусы при вращении по окружности в магнитном поле(напомним, что в этой СО есть только магнитное поле):
$$R=\frac{m_e v_{вр}}{eB}$$
$$R=\frac{m_e v_{вр}}{eB}$$
Тогда:
Тогда:
$$v\le\frac{U}{Bh}+\frac{eBh}{4m_e}$$
$$v\le\frac{U}{Bh}+\frac{eBh}{4m_e}$$
Однако это ещё не всё. А что если скорость дрейфа больше начальной скорости? Тогда вращение будет происходить в другую сторону:
Однако это ещё не всё. А что если скорость дрейфа больше начальной скорости? Тогда вращение будет происходить в другую сторону:
Вновь подставим формулы для движения по окружности и получим нижнюю границу скорости:
Вновь подставим формулы для движения по окружности и получим нижнюю границу скорости:
@@ -31,7 +31,41 @@Решение
$$v\ge\frac{E}{B}-\frac{eBh}{4m_e}$$
$$v\ge\frac{E}{B}-\frac{eBh}{4m_e}$$
Но не стоит забывать что нижняя граница имеет смысл только если начальная скорость больше нуля
Но не стоит забывать что нижняя граница имеет смысл только если начальная скорость больше нуля
### Альтернативное решение (Динамический метод)
Рассмотрим движение электрона (заряд $-e$, масса $m$) в декартовой системе координат. Пусть ось $x$ направлена вдоль начальной скорости электрона (вправо), ось $y$ — вертикально вверх, а магнитное поле $\vec{B}$ направлено вдоль оси $z$ (на нас).
Напряженность электрического поля в конденсаторе $E = V/h$. Чтобы электрон мог пролететь, электрическая сила должна компенсировать магнитную, следовательно, вектор $\vec{E}$ направлен вверх.
Запишем уравнения движения электрона (проекции второго закона Ньютона).
По оси $x$ действует только проекция магнитной силы Лоренца, возникающая при вертикальном смещении:
Поскольку электрон влетает в конденсатор в точке $y = 0$ с нулевой вертикальной скоростью, эта точка является крайней точкой колебаний. Максимальное отклонение от начальной оси составит:
$$y_{max} = 2y_0 = \frac{2m(Bv - E)}{eB^2}$$
Для того чтобы электрон прошел через конденсатор и не столкнулся с пластинами, максимальное отклонение по модулю не должно превышать половины расстояния между пластинами:
