Решение

Движение частицы в скрещенных полях можно представить в виде вращения с постоянной по модулю скоростью вокруг центра окружности, который движется с дрейфовой скоростью.(подробное доказательство этого факта смотрите в задаче $10.2.7$)
Как известно:
$$v_{др}=\frac{E}{B}=\frac{U}{Bh}$$
Если электрон изначально будет двигаться с этой скоростью, то вращения по окружности просто не будет. То есть электрон движется по прямой. Далее рассмотрим случай, если вращение всё же есть. Перейдём в СО движущуюся со скоростью дрейфа
Тогда скорость, с которой частица вращается вокруг центра:
$$v_{вр}=v-v_{др}$$
Изначально частица находится в верхней точке окружности, по которой будет вращаться.

На рисунке показаны возможные траектории вращения электрона в системе, движущейся в дрейфовой скоростью. Для отсутствия столкновения с пластиной конденсатора:
$$2R\le \frac{h}{2}$$
Вспомним формулу для радиусы при вращении по окружности в магнитном поле(напомним, что в этой СО есть только магнитное поле):
$$R=\frac{m_e v_{вр}}{eB}$$
Тогда:
$$v\le\frac{U}{Bh}+\frac{eBh}{4m_e}$$
Однако это ещё не всё. А что если скорость дрейфа больше начальной скорости? Тогда вращение будет происходить в другую сторону:

И модуль скорости вращения будет равен:
$$v_{вр}=\frac{E}{B}-v$$
Вновь подставим формулы для движения по окружности и получим нижнюю границу скорости:
$$v\ge \frac{E}{B}-\frac{eBh}{4m_e}$$
Но не стоит забывать что нижняя граница имеет смысл только если начальная скорость больше нуля

Альтернативное решение (Динамический метод)

Рассмотрим движение электрона (заряд $-e$, масса $m$) в декартовой системе координат. Пусть ось $x$ направлена вдоль начальной скорости электрона (вправо), ось $y$ — вертикально вверх, а магнитное поле $\vec{B}$ направлено вдоль оси $z$ (на нас).

Напряженность электрического поля в конденсаторе $E = V/h$. Чтобы электрон мог пролететь, электрическая сила должна компенсировать магнитную, следовательно, вектор $\vec{E}$ направлен вверх.

Запишем уравнения движения электрона (проекции второго закона Ньютона).
По оси $x$ действует только проекция магнитной силы Лоренца, возникающая при вертикальном смещении:
$$m \frac{dv_x}{dt} = -eB v_y = -eB \frac{dy}{dt}$$

Умножим на $dt$ и проинтегрируем с учетом начальных условий (при $y = 0$, $v_x = v$):
$$m(v_x - v) = -eBy \implies v_x = v - \frac{eB}{m}y \quad (1)$$

По оси $y$ действуют электрическая сила и проекция магнитной силы от горизонтальной скорости:
$$m \frac{dv_y}{dt} = eB v_x - eE$$

Подставим выражение $(1)$ для $v_x$:
$$m \frac{dv_y}{dt} = eB \left( v - \frac{eB}{m}y \right) - eE = e(Bv - E) - \frac{e^2B^2}{m}y$$

Полученное уравнение описывает гармонические колебания. Найдем координату равновесия $y_0$, при которой ускорение по оси $y$ равно нулю:
$$e(Bv - E) - \frac{e^2B^2}{m}y_0 = 0 \implies y_0 = \frac{m(Bv - E)}{eB^2}$$

Поскольку электрон влетает в конденсатор в точке $y = 0$ с нулевой вертикальной скоростью, эта точка является крайней точкой колебаний. Максимальное отклонение от начальной оси составит:
$$y_{max} = 2y_0 = \frac{2m(Bv - E)}{eB^2}$$

Для того чтобы электрон прошел через конденсатор и не столкнулся с пластинами, максимальное отклонение по модулю не должно превышать половины расстояния между пластинами:
$$|y_{max}| \le \frac{h}{2}$$
$$\left| \frac{2m(Bv - E)}{eB^2} \right| \le \frac{h}{2}$$

Подставив $E = V/h$ и разделив на $B$, получим искомое условие на начальную скорость $v$:
$$\left| v - \frac{V}{Bh} \right| \le \frac{eBh}{4m}$$

Раскрывая модуль, получаем полный диапазон допустимых скоростей:
$$\frac{V}{Bh} - \frac{eBh}{4m} \le v \le \frac{V}{Bh} + \frac{eBh}{4m}$$
*(При условии, что левая граница больше нуля, иначе электрон не полетит вперед изначально).*