Edits to “Условие”, “Решение”

astrosander edited Aug 10, 2026, 2:09 PM

View solution History

revision #19964 parent #19963 ← older newer →

ru/6.3.10.md +10 −12

		@@ -1,18 +1,24 @@
			### Условие

			$6.3.10.$ а. Докажите, что внешнее электрическое поле эллипсоида из задачи 6.1.20а перпендикулярно его поверхности.

		−	б. Проводящий эллипсоид получен из сферы уменьшением ее размеров в одном направлении в n раз. Длина большой полуоси эллипсоида R, его полный заряд Q. Определите максимальную и минимальную напряженность внешнего электрического поля вблизи поверхности эллипсоида.
		+	б. Проводящий эллипсоид получен из сферы уменьшением ее размеров в одном направлении в $n$ раз. Длина большой полуоси эллипсоида $R$, его полный заряд $Q$. Определите максимальную и минимальную напряженность внешнего электрического поля вблизи поверхности эллипсоида.

		−	в. Определите максимальную напряженность электрического поля длинного металлического заряженного провода эллиптического сечения. Длина малой полуоси эллипса b, линейная плотность заряда провода ρ.
		+	в. Определите максимальную напряженность электрического поля длинного металлического заряженного провода эллиптического сечения. Длина малой полуоси эллипса $b$, линейная плотность заряда провода $\rho$.

			### Решение
		+
			а. В задаче 6.1.20а эллипсоид проводящий, а значит и эквипотенциальный. Если взять малый участок поверхности, то у эл. поля будет только вертикальное составляющее. Другими словами
		−	![К задаче $6.3.10a$\|2122x920, 50%](../../img/6.3.10/Screenshot 2026-08-10 at 15.03.15.png)
		+
		+	![К задаче $6.3.10a$\|2122x920, 100%](../../img/6.3.10/Screenshot 2026-08-10 at 15.03.15.png)
		+
			$\mathbf{E} = -\nabla\varphi$. .к. $E_x = -\frac{\partial \varphi}{\partial x} = 0,\quad$
			$E_y = -\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 0,\quad$ $E_z = -\frac{\partial \varphi}{\partial y} \neq 0$

		−	б. ![К задаче $6.3.10$\|2046x1062, 50%](../../img/6.3.10/Screenshot 2026-08-10 at 15.44.15.png)
		+	б.
		+
		+	![К задаче $6.3.10$\|2046x1062, 100%](../../img/6.3.10/Screenshot 2026-08-10 at 15.44.15.png)
		+
			$dV = dN \cdot dS$ (1)

			$dV \cdot \rho = dQ$ (2)

			$\sigma = \frac{d V \cdot \rho}{dS}$ (3)

			$V \sim N^3$ $\rightarrow$ $V = k \cdot N^3$

			Логарифмируем обе части и дифференцируем

			$lnV = lnk + 3lnN$

			$\frac{\Delta {V}}{V} = \frac{3\partial {N}}{N}$ (4)

			$dQ = \rho dV$ $\rightarrow$ $Q = \int \rho dV$ $\rightarrow$ $Q = \rho \Delta V$ , где $\Delta V$ тонький слой, который виден на рисунке между эллипсоидами.

			Из (1) и (4): $dS = \frac {3V}{N}$, поставим это в (3): $\sigma = \frac {N \cdot \rho dV}{3V}$

			$\rho \delta V = Q$ $\rightarrow$ $\sigma = \frac{QN}{3V}$

			$V = \frac{4}{3} \pi \frac {R^3}{n}$

			$E = \frac {\sigma}{\epsilon_0}$ - граничное условие

			$E = \frac {QNn}{4 \pi \epsilon_0 R^3}$

		@@ -42,15 +48,7 @@Решение
			$N_{\text{min}} = \frac{R}{n} \quad \text{и} \quad N_{\text{max}} = R$

			$E_{\text{min}} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \quad \text{и} \quad E_{\text{max}} = \frac{Qn}{4 \pi \epsilon_0 R^2}$
		−
		−
		−
		−
		−
		−
		−
		−

			#### Ответ

			б. $E_{\text{min}} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \quad \text{и} \quad E_{\text{max}} = \frac{Qn}{4 \pi \epsilon_0 R^2}$