Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/6.3.10.md
+47 −3
| @@ -1,12 +1,56 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $6.3.10.$ | ||
| + | $6.3.10.$ а. Докажите, что внешнее электрическое поле эллипсоида из задачи 6.1.20а перпендикулярно его поверхности. | ||
| + | б. Проводящий эллипсоид получен из сферы уменьшением ее размеров в одном направлении в n раз. Длина большой полуоси эллипсоида R, его полный заряд Q. Определите максимальную и минимальную напряженность внешнего электрического поля вблизи поверхности эллипсоида. | ||
| + | |||
| + | в. Определите максимальную напряженность электрического поля длинного металлического заряженного провода эллиптического сечения. Длина малой полуоси эллипса b, линейная плотность заряда провода ρ. | ||
| + | |||
| ### Решение | |||
| + | а. В задаче 6.1.20а эллипсоид проводящий, а значит и эквипотенциальный. Если взять малый участок поверхности, то у эл. поля будет только вертикальное составляющее. Другими словами | ||
| + |  | ||
| + | $\mathbf{E} = -\nabla\varphi$. .к. $E_x = -\frac{\partial \varphi}{\partial x} = 0,\quad$ | ||
| + | $E_y = -\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 0,\quad$ $E_z = -\frac{\partial \varphi}{\partial y} \neq 0$ | ||
| − | фсдгф | ||
| + | б.  | ||
| + | $dV = dN \cdot dS$ (1) | ||
| + | $dV \cdot \rho = dQ$ (2) | ||
| + | $\sigma = \frac{d V \cdot \rho}{dS}$ (3) | ||
| + | |||
| + | $V \sim N^3$ $\rightarrow$ $V = k \cdot N^3$ | ||
| + | |||
| + | Логарифмируем обе части и дифференцируем | ||
| + | |||
| + | $lnV = lnk + 3lnN$ | ||
| + | |||
| + | $\frac{\Delta {V}}{V} = \frac{3\partial {N}}{N}$ (4) | ||
| + | |||
| + | $dQ = \rho dV$ $\rightarrow$ $Q = \int \rho dV$ $\rightarrow$ $Q = \rho \Delta V$ , где $\Delta V$ тонький слой, который виден на рисунке между эллипсоидами. | ||
| + | |||
| + | Из (1) и (4): $dS = \frac {3V}{N}$, поставим это в (3): $\sigma = \frac {N \cdot \rho dV}{3V}$ | ||
| + | |||
| + | $\rho \delta V = Q$ $\rightarrow$ $\sigma = \frac{QN}{3V}$ | ||
| + | |||
| + | $V = \frac{4}{3} \pi \frac {R^3}{n}$ | ||
| + | |||
| + | $E = \frac {\sigma}{\epsilon_0}$ - граничное условие | ||
| + | |||
| + | $E = \frac {QNn}{4 \pi \epsilon_0 R^3}$ | ||
| + | |||
| + | $N_{\text{min}} = \frac{R}{n} \quad \text{и} \quad N_{\text{max}} = R$ | ||
| + | |||
| + | $E_{\text{min}} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \quad \text{и} \quad E_{\text{max}} = \frac{Qn}{4 \pi \epsilon_0 R^2}$ | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | б. $E_{\text{min}} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \quad \text{и} \quad E_{\text{max}} = \frac{Qn}{4 \pi \epsilon_0 R^2}$ | ||
| @@ -1,12 +1,56 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $6.3.10.$ |
$6.3.10.$ а. Докажите, что внешнее электрическое поле эллипсоида из задачи 6.1.20а перпендикулярно его поверхности. | ||
| б. Проводящий эллипсоид получен из сферы уменьшением ее размеров в одном направлении в n раз. Длина большой полуоси эллипсоида R, его полный заряд Q. Определите максимальную и минимальную напряженность внешнего электрического поля вблизи поверхности эллипсоида. | |||
| в. Определите максимальную напряженность электрического поля длинного металлического заряженного провода эллиптического сечения. Длина малой полуоси эллипса b, линейная плотность заряда провода ρ. | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| а. В задаче 6.1.20а эллипсоид проводящий, а значит и эквипотенциальный. Если взять малый участок поверхности, то у эл. поля будет только вертикальное составляющее. Другими словами | |||
|  | |||
| $\mathbf{E} = -\nabla\varphi$. .к. $E_x = -\frac{\partial \varphi}{\partial x} = 0,\quad$ | |||
| $E_y = -\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 0,\quad$ $E_z = -\frac{\partial \varphi}{\partial y} \neq 0$ | |||
| фсдгф | б.  | ||
| $dV = dN \cdot dS$ (1) | |||
| $dV \cdot \rho = dQ$ (2) | |||
| $\sigma = \frac{d V \cdot \rho}{dS}$ (3) | |||
| $V \sim N^3$ $\rightarrow$ $V = k \cdot N^3$ | |||
| Логарифмируем обе части и дифференцируем | |||
| $lnV = lnk + 3lnN$ | |||
| $\frac{\Delta {V}}{V} = \frac{3\partial {N}}{N}$ (4) | |||
| $dQ = \rho dV$ $\rightarrow$ $Q = \int \rho dV$ $\rightarrow$ $Q = \rho \Delta V$ , где $\Delta V$ тонький слой, который виден на рисунке между эллипсоидами. | |||
| Из (1) и (4): $dS = \frac {3V}{N}$, поставим это в (3): $\sigma = \frac {N \cdot \rho dV}{3V}$ | |||
| $\rho \delta V = Q$ $\rightarrow$ $\sigma = \frac{QN}{3V}$ | |||
| $V = \frac{4}{3} \pi \frac {R^3}{n}$ | |||
| $E = \frac {\sigma}{\epsilon_0}$ - граничное условие | |||
| $E = \frac {QNn}{4 \pi \epsilon_0 R^3}$ | |||
| $N_{\text{min}} = \frac{R}{n} \quad \text{и} \quad N_{\text{max}} = R$ | |||
| $E_{\text{min}} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \quad \text{и} \quad E_{\text{max}} = \frac{Qn}{4 \pi \epsilon_0 R^2}$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | б. $E_{\text{min}} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \quad \text{и} \quad E_{\text{max}} = \frac{Qn}{4 \pi \epsilon_0 R^2}$ | ||