Решение

а. В задаче 6.1.20а эллипсоид проводящий, а значит и эквипотенциальный. Если взять малый участок поверхности, то у эл. поля будет только вертикальное составляющее. Другими словами

$\mathbf{E} = -\nabla\varphi$. .к. $E_x = -\frac{\partial \varphi}{\partial x} = 0,\quad$
$E_y = -\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 0,\quad$ $E_z = -\frac{\partial \varphi}{\partial y} \neq 0$

б.

$dV = dN \cdot dS$ (1)

$dV \cdot \rho = dQ$ (2)

$\sigma = \frac{d V \cdot \rho}{dS}$ (3)

$V \sim N^3$ $\rightarrow$ $V = k \cdot N^3$

Логарифмируем обе части и дифференцируем

$lnV = lnk + 3lnN$

$\frac{\Delta {V}}{V} = \frac{3\partial {N}}{N}$ (4)

$dQ = \rho dV$ $\rightarrow$ $Q = \int \rho dV$ $\rightarrow$ $Q = \rho \Delta V$ , где $\Delta V$ тонький слой, который виден на рисунке между эллипсоидами.

Из (1) и (4): $dS = \frac {3V}{N}$, поставим это в (3): $\sigma = \frac {N \cdot \rho dV}{3V}$

$\rho \delta V = Q$ $\rightarrow$ $\sigma = \frac{QN}{3V}$

$V = \frac{4}{3} \pi \frac {R^3}{n}$

$E = \frac {\sigma}{\epsilon_0}$ - граничное условие

$E = \frac {QNn}{4 \pi \epsilon_0 R^3}$

$N_{\text{min}} = \frac{R}{n} \quad \text{и} \quad N_{\text{max}} = R$

$E_{\text{min}} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \quad \text{и} \quad E_{\text{max}} = \frac{Qn}{4 \pi \epsilon_0 R^2}$

в.

$dA = dN \cdot ds$ (1)

$dA \cdot \rho_S = d\rho$ (2), где $\rho_S$ - плотность заряда провода по площади сечения, а $d\rho$ — заряд слоя $dA$ на единицу длины провода

$d\rho = \rho_S dA$

$\sigma = \frac{d A \cdot \rho_S}{ds}$ (3)

$A \sim N^2$ $\rightarrow$ $A = k \cdot N^2$

Логарифмируем обе части и дифференцируем

$lnA = lnk + 2lnN$

$\frac{\Delta {A}}{A} = \frac{2\partial {N}}{N}$ (4)

$d\rho = \rho_S dA$ $\rightarrow$ $\rho = \int \rho_S dA$ $\rightarrow$ $\rho = \rho_S \Delta A$, где $\Delta A$ тонкий слой, который виден между эллипсами.

Из (1) и (4): $ds = \frac {2A}{N}$, поставим это в (3): $\sigma = \frac {N \cdot \rho_S dA}{2A}$

$\rho_S \delta A = \rho$ $\rightarrow$ $\sigma = \frac{\rho N}{2A}$

$A = \pi a b$

$E = \frac {\sigma}{\epsilon_0}$ - граничное условие

$E = \frac {\rho N}{2 \pi \epsilon_0 a b}$

$N_{\text{max}} = a$

$E_{\text{max}} = \frac{\rho}{2 \pi \epsilon_0 b}$