6.3.10 | revision #19963 | Savchenko Solutions

Условие

6.3.10. а. Докажите, что внешнее электрическое поле эллипсоида из задачи 6.1.20а перпендикулярно его поверхности.

б. Проводящий эллипсоид получен из сферы уменьшением ее размеров в одном направлении в n раз. Длина большой полуоси эллипсоида R, его полный заряд Q. Определите максимальную и минимальную напряженность внешнего электрического поля вблизи поверхности эллипсоида.

в. Определите максимальную напряженность электрического поля длинного металлического заряженного провода эллиптического сечения. Длина малой полуоси эллипса b, линейная плотность заряда провода ρ.

Решение

а. В задаче 6.1.20а эллипсоид проводящий, а значит и эквипотенциальный. Если взять малый участок поверхности, то у эл. поля будет только вертикальное составляющее. Другими словами

К задаче $6.3.10a$ — К задаче $$6.3.10a$$

\mathbf{E} = -\nabla\varphi

. .к.

E_x = -\frac{\partial \varphi}{\partial x} = 0,\quad

E_y = -\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 0,\quad

E_z = -\frac{\partial \varphi}{\partial y} \neq 0

б.

dV = dN \cdot dS

(1)

$dV \cdot \rho = dQ$ (2)

$\sigma = \frac{d V \cdot \rho}{dS}$ (3)

$V \sim N^3$ $\rightarrow$ $V = k \cdot N^3$

Логарифмируем обе части и дифференцируем

$$lnV = lnk + 3lnN$$

$\frac{\Delta {V}}{V} = \frac{3\partial {N}}{N}$ (4)

$dQ = \rho dV$ $\rightarrow$ $Q = \int \rho dV$ $\rightarrow$ $Q = \rho \Delta V$ , где $\Delta V$ тонький слой, который виден на рисунке между эллипсоидами.

Из (1) и (4): $dS = \frac {3V}{N}$ , поставим это в (3): $\sigma = \frac {N \cdot \rho dV}{3V}$

$\rho \delta V = Q$ $\rightarrow$ $\sigma = \frac{QN}{3V}$

$V = \frac{4}{3} \pi \frac {R^3}{n}$

$E = \frac {\sigma}{\epsilon_0}$ - граничное условие

$E = \frac {QNn}{4 \pi \epsilon_0 R^3}$

$и$N_{\text{min}} = \frac{R}{n} \quad \text{и} \quad N_{\text{max}} = R$$

$и$E_{\text{min}} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \quad \text{и} \quad E_{\text{max}} = \frac{Qn}{4 \pi \epsilon_0 R^2}$$

Ответ

б. $и$E_{\text{min}} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \quad \text{и} \quad E_{\text{max}} = \frac{Qn}{4 \pi \epsilon_0 R^2}$$