| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $3.1.1.$ Посередине натянутой струны длины $2l$ закреплен шар. Какая суммарная сила действует на шар со стороны струны, если поперечное смещение его из положения равновесия $x \\ll l$, а сила натяжения струны $F$ не зависит от смещения? Почему при малых смещениях можно считать зависимость силы, действующей на шар, от $x$ линейной? Как направлена эта сила по отношению к смещению? Найдите, как зависит потенциальная энергия шара от малого смещения $x$. Какова скорость шара при прохождении им положения равновесия, если его максимальное смещение равно $x_0$? Масса шара $m$. | | $3.1.1.$ Посередине натянутой струны длины $2l$ закреплен шар. Какая суммарная сила действует на шар со стороны струны, если поперечное смещение его из положения равновесия $x \\ll l$, а сила натяжения струны $F$ не зависит от смещения? Почему при малых смещениях можно считать зависимость силы, действующей на шар, от $x$ линейной? Как направлена эта сила по отношению к смещению? Найдите, как зависит потенциальная энергия шара от малого смещения $x$. Какова скорость шара при прохождении им положения равновесия, если его максимальное смещение равно $x_0$? Масса шара $m$. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Помимо силы тяжести $mg$ на шар действуетсила натяжения струны $F$, которая имеет вертикальную компоненту $F'$: | | Помимо силы тяжести $mg$ на шар действуетсила натяжения струны $F$, которая имеет вертикальную компоненту $F'$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F'=-2F\\cos\\alpha =-2F\\frac{x}{\\sqrt{l^2+x^2}}\\tag{1} | | F'=-2F\\cos\\alpha =-2F\\frac{x}{\\sqrt{l^2+x^2}}\\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Т.к. колебания малые, учтем, что $x\\ll l$ | | Т.к. колебания малые, учтем, что $x\\ll l$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \\frac{x}{\\sqrt{l^2+x^2}} = \\frac{1}{\\sqrt{1+\\frac{l^2}{x^2}}} | | \\frac{x}{\\sqrt{l^2+x^2}} = \\frac{1}{\\sqrt{1+\\frac{l^2}{x^2}}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Т.к. $x\\ll l$, то $\\frac{l^2}{x^2} \\gg 1$: | | Т.к. $x\\ll l$, то $\\frac{l^2}{x^2} \\gg 1$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \\frac{1}{\\sqrt{1+\\frac{l^2}{x^2}}}=\\frac{1}{\\sqrt{\\frac{l^2}{x^2}}}=\\frac{x}{l} | | \\frac{1}{\\sqrt{1+\\frac{l^2}{x^2}}}=\\frac{1}{\\sqrt{\\frac{l^2}{x^2}}}=\\frac{x}{l} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Подставляя в $(1)$ | | Подставляя в $(1)$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \\boxed{F'=-2F\\frac{x}{l}} | | \\boxed{F'=-2F\\frac{x}{l}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| | | |
| $$ | | $$ |
| U=\\int_{0}^{U}dU=\\int_{0}^{x}2F\\frac{x}{l}dx=\\boxed{\\frac{Fx^2}{l}} | | U=\\int_{0}^{U}dU=\\int_{0}^{x}2F\\frac{x}{l}dx=\\boxed{\\frac{Fx^2}{l}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Из закона сохранения энергии, получаем искомую скорость при максимальном смещении | | Из закона сохранения энергии, получаем искомую скорость при максимальном смещении |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \\frac{Fx_0^2}{l}=\\frac{m\\upsilon^2}{2}\\Rightarrow \\boxed{\\upsilon =x_0\\sqrt{\\frac{2F}{ml}}} | | \\frac{Fx_0^2}{l}=\\frac{m\\upsilon^2}{2}\\Rightarrow \\boxed{\\upsilon =x_0\\sqrt{\\frac{2F}{ml}}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \\upsilon =x_0\\sqrt{\\frac{2F}{ml}} | | \\upsilon =x_0\\sqrt{\\frac{2F}{ml}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| | | |
