Updated greek laters @ latex compiling

astrosander edited
View solution History
revision #9940 parent #9095 GitHub dbb31ba ← older newer →
ru/3.1.1.md +2 −2
@@ -75,15 +75,15 @@
<h3>Решение</h3>
<p>
Помимо силы тяжести $mg$ на шар действуетсила натяжения струны $F$, которая имеет вертикальную компоненту $F'$:
−$$F'=-2Fcos\alpha=-2F\frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}}\quad(1)$$
+$$F'=-2F\cos\alpha=-2F\frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}}\quad(1)$$
Т.к. колебания малые, учтем, что $x\ll l$
$$\frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{l^2}{x^2}}}$$
Т.к. $x\ll l$, то $\frac{l^2}{x^2} \gg 1$:
$$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{l^2}{x^2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{l^2}{x^2}}}=\frac{x}{l}$$
Подставляя в $(1)$
$$\boxed{F'=-2F\frac{x}{l}}$$
Найдём малое изменение энергии как
−$$dU=2Fcos\alpha dx=2F\sqrt{\frac{x}{l^2+x^2}}=2F\frac{x}{l}dx$$
+$$dU=2F\cos\alpha dx=2F\sqrt{\frac{x}{l^2+x^2}}=2F\frac{x}{l}dx$$
Далее, проинтегрируем $dU$ от $0$ до $U$
$$U=\int_{0}^{U}dU=\int_{0}^{x}2F\frac{x}{l}dx=\boxed{\frac{Fx^2}{l}}$$
Из закона сохранения энергии, получаем искомую скорость при максимальном смещении
unchanged lines 24